Khoảng cách và góc

I. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng ${0^\circ }$.

Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$;

${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Khi đó

Chú ý

- ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$.

- Nếu ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ thì góc $\varphi$ giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cũng được xác định thông qua công thức $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|$.

Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng

${\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0$ và ${\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0.$

Giải

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ là $\overrightarrow {{n_1}} = (\sqrt 3 ; - 1)$, của ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = (1; - \sqrt 3 )$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Ta có

$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overline {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{|\sqrt 3 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - \sqrt 3 )|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Do đó, góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là $\varphi = {30^\circ }$.

II. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ được tính theo công thức

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm $M(2;4)$ đến đường thẳng $\Delta :3x + 4y - 12 = 0$.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điềm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, ta có

$d(M,\Delta ) = \dfrac{{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{10}}{5} = 2$

Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là 2 .