I. Dạng 1: Hàm số logarit
Tính nguyên hàm ∫f(x)ln(ax+b)dx với f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=ln(ax+b)dv=f(x)dx⇒{du=aax+bdxv=∫f(x)dx
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức ∫f(x)ln(ax+b)dx=uv−∫vdu
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=xlnx
Giải: Ta có F(x)=∫f(x)dx=∫xlnxdx.
Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=dxxv=x22
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
F(x)=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C
II. Dạng 2: Hàm số mũ
Tính nguyên hàm ∫f(x)eax+bdx với f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=eax+bdx⇒{du=f′(x)dxv=1aeax+b
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức ∫f(x)eax+bdx=uv−∫vdu
Ví dụ: Tính I=∫xexdx
Giải:
Đặt {u=xdv=exdx⇒{du=dxv=ex
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
I=∫xexdx=xex−∫exdx=xex−∫d(ex)=xex−ex+C
III. Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính nguyên hàm ∫f(x)sin(ax+b)dx hoặc ∫f(x)cos(ax+b)dx.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=sin(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=−1acos(ax+b) hoặc {u=f(x)dv=cos(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=1asin(ax+b)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức ∫f(x)sin(ax+b)dx=uv−∫vdu hoặc ∫f(x)cos(ax+b)dx=uv−∫vdu
Ví dụ: Tính I=∫xsinxdx
Giải:
Đặt {u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=−cosx
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
I=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C
IV. Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính nguyên hàm ∫eax+bsin(cx+d)dx hoặc ∫eax+bcos(cx+d)dx.
- Bước 1: Đặt {u=sin(cx+d)dv=eax+bdx hoặc {u=cos(cx+d)dv=eax+bdx
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức uv−∫vdu.
- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.
- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx
Ví dụ: Tính nguyên hàm I=∫sinx.exdx
Giải:
Đặt {u=sinxdv=exdx⇒{du=cosxdxv=ex.
Khi đó I=exsinx−∫cosxexdx=exsinx−J
Tính J=∫cosxexdx. Đặt {u=cosxdv=exdx⇒{du=−sinxdxv=ex
Suy ra J=excosx+∫sinxexdx=excosx+I.
Do đó I=exsinx−J=exsinx−(excosx+I)⇔2I=exsinx−excosx
Vậy I=12(exsinx−excosx)+C
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:
Lôgarit-> Hàm đa thức -> Hàm mũ -> Hàm lượng giác
