Tích phân

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

I. Khái niệm tích phân

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right],F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hiệu \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\). Kí hiệu:

$I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

II. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số \(f,g\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],c\) là điểm bất kì thuộc \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó ta có:

a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0\)

b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

c) \(\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

d) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \)

e) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\) \(\forall b \in \left[ {a;c} \right]\)

f) \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \) \(= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

g) Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\)

h) Nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

III. Tích phân các hàm số cơ bản

1. Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,...) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

ở đó, \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

Bảng nguyên hàm

Tích phân - ảnh 1

2. Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm \(f\left( x \right)\) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) rồi tính lần lượt các tích phân đó.