I. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 kí hiệu là lim.
Nhận xét: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c với c là hằng số.
Định lý: Giả sử \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M. Khi đó:
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M} với M \ne 0
Nếu f\left( x \right) \ge 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L thì L \ge 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L .
II. Giới hạn một bên
Số L là:
+ giới hạn bên phải của hàm số y = f\left( x \right) kí hiệu là \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L
+ giới hạn bên trái của hàm số y = f\left( x \right) kí hiệu là \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L
Định lý: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L
III. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn là số L khi x \to + \infty (hoặc x \to - \infty ) kí hiệu là:\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L (hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L)
Với c,k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số
a) Giới hạn vô cực
Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn là \pm \infty khi x \to \pm \infty kí hiệu là \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = x = \pm \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty
b) Một vài giới hạn đặc biệt
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty với k nguyên dương.
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty nếu k chẵn và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty nếu k lẻ.
