Bất phương trình mũ

I. Tính đơn điệu của hàm số mũ

- Tính đơn điệu của các hàm số $y = {a^x}$

+ Với $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến.

+ Với $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến.

II. Giải bất phương trình mũ

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} \ge {3^{2x - 1}}$ là:

A. $\left( { - \infty ;1} \right]$

B. $\left( { - \infty ;1} \right)$

C. $\left( {1; + \infty } \right)$                        

D. $\left[ {1; + \infty } \right)$

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số $a > 1$: ${a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ .

Cách giải:

${3^x} \ge {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow  - x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \le 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;1} \right]$.

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ${\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0$ là:

A. $\left( { - \infty ;1} \right]$

B. $\left( { - 1; + \infty } \right)$

C. $\left[ {0; + \infty } \right)$                         

D. $\left( { - \infty ;0} \right]$

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

$\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} - 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Chọn C.

III. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ: Tìm $m$ để bất phương trình $m{.4^x} - 2 < 0$ nghiệm đúng với mọi $x$.

A. $m \in R$   

B. $m = 0$    

C. $m > 0$            

D. $m \le 0$

Phương pháp:

- Biến đổi bất phương trình đã cho về $m{.4^x} < 2$.

- Biện luận bất phương trình theo $m$ nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: $m{.4^x} - 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2$.

+ Nếu $m \le 0$ thì $m{.4^x} \le 0 < 2$ đúng với mọi $x$.

+ Nếu $m > 0$ thì $m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}$, do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi $x$.

Vậy $m \le 0$.

Chọn D.