Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

I. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên miền \(D\).

- Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.\)

Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)

- Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.\)

Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)

Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.

Phân biệt GTLN với cực đại, GTNN với cực tiểu

II. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN \(M\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN \(m\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)

III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\) và \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right);B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\)

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(A\) hoặc \(B\) thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(f\left( {{x_i}} \right),i \in \left\{ {1;2;...;n} \right\}\) thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng \(f\left( {{x_i}} \right)\) khi \(x = {x_i}\)

IV. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của \(y'\))

- Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\)

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)

- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

- Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm \(m\)