I. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm f′(x), tìm các điểm x1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=2x4+1.
Ta có y′=8x3,y′>0⇔x>0 nên hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞)
y′<0⇔x<0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;0)
Một số trường hợp đặc biệt:
II. Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R
Phương pháp:
- Bước 1: Tính f′(x).
- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾ và y' = 0 tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R và y' = 0 tại hữu hạn điểm.
- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017 đồng biến trên \mathbb{R}.
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0 {\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.
\Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2
Cho hàm số f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right). Khi đó:
\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}
III. Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số y = f\left( x \right) đồng biến trên D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D.
+ Hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút m theo x sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D hoặc m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y = g\left( x \right) trên D.
- Kết luận: \begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered}
- Bước 3: Kết luận.
IV. Tìm m để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
Tìm m để hàm số y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} đồng biến, nghịch biến trên khoảng \left( {\alpha ;\beta } \right)
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
+ Hàm số nghịch biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
- Bước 3: Kết luận.
