Tích phân (đổi biến số)

I. Một số công thức cần nhớ để đổi biến trong tích phân

II. Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x)

Ví dụ: Tính tích phân $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}$.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1$ $\Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3  \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$

Do đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}$.

III. Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t)

Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}$, nếu đặt $x = \sin t$ thì:

A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t}$

B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t}$

C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t}$

D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t}$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$

Suy ra

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t}$ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t}$

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là: