I. Hàm số mũ
- Hàm số mũ là hàm số dạng \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
- Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\).
- Đạo hàm: \(y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a;y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y' = u'\left( x \right).{a^{u\left( x \right)}}\ln a,x \in R\)
(Đặc biệt $\left( {{e^x}} \right)' = {e^x};{e^{u\left( x \right)}} = u'\left( x \right){e^{u\left( x \right)}}$ )
Khảo sát \(y = {a^x}\):
- TXĐ: \(D = R\)
- Chiều biến thiên:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(R\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(R\).
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;a} \right)\).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì \({a^x} > 0,\forall x \in R\).
+ Dáng đồ thị:
II. Tính giới hạn các hàm số
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^x} = e\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{x}}} = e\).
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y' = 0\).
- Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\).
- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
