Logarit

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Bài viết trình bày định nghĩa logarit và các tính chất của logarit, giới thiệu về logarit thập phân.

I. Logarit - Định nghĩa và tính chất

1. Định nghĩa

Với \(a > 0;a \ne 1,b > 0\) thì \({\log _a}b = N \Leftrightarrow b = {a^N}\). Số \({\log _a}b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\).

- Không có logarit của số âm, nghĩa là \(b > 0\).

- Cơ số phải dương và khác \(1\), nghĩa là \(0 < a \ne 1\).

- Theo định nghĩa logarit ta có:

\(\begin{array}{l} + ){\log _a}1 = 0;{\log _a}a = 1\\ + ){\log _a}{a^b} = b,\forall b \in R\\ + ){a^{{{\log }_a}b}} = b,\forall b > 0\end{array}\)

2. Tính chất

1/ Nếu \(a > 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).

2/ Nếu \(0 < a < 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).

3/ \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)

4/ \({\log _a}\left( {\dfrac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)

5/ \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)

6/ \({\log _a}\dfrac{1}{b} =  - {\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)

7/ \({\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \( \left( {0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^*}} \right)\)

8/ \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\) \(\left( {0 < a,b \ne 1;c > 0} \right)\)

9/ \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1\) \(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\)

10/ \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \(\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)\)

Hệ quả:

a) Nếu \(a > 1;b > 0\) thì \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).

b) Nếu \(0 < a < 1;b > 0\) thì \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).

c) Nếu \(0 < a \ne 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).

Logarit thập phân \({\log _{10}}b = \log b\left( { = \lg b} \right)\) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số \(a\).

II. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa logarit sử dụng những tính chất của logarit.

- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

III. Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các logarit về cùng cơ số (nếu có thể)

- Bước 2: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit.

- Bước 3: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

IV. Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.