I. Logarit - Định nghĩa và tính chất
1. Định nghĩa
Với a>0;a≠1,b>0 thì logab=N⇔b=aN. Số logab được gọi là lôgarit cơ số a của b.
- Không có logarit của số âm, nghĩa là b>0.
- Cơ số phải dương và khác 1, nghĩa là 0<a≠1.
- Theo định nghĩa logarit ta có:
+)loga1=0;logaa=1+)logaab=b,∀b∈R+)alogab=b,∀b>0
2. Tính chất
1/ Nếu a>1;b,c>0 thì logab>logac⇔b>c.
2/ Nếu 0<a<1;b,c>0 thì logab>logac⇔b<c.
3/ loga(bc)=logab+logac (0<a≠1;b,c>0)
4/ loga(bc)=logab−logac (0<a≠1;b,c>0)
5/ logabn=nlogab(0<a≠1;b>0)
6/ loga1b=−logab(0<a≠1;b>0)
7/ logan√b=logab1n=1nlogab (0<a≠1;b>0;n>0;n∈N∗)
8/ logab.logbc=logac⇔logbc=logaclogab (0<a,b≠1;c>0)
9/ logab=1logba⇔logab.logba=1 (0<a,b≠1)
10/ loganb=1nlogab (0<a≠1;b>0;n≠0)
Hệ quả:
a) Nếu a>1;b>0 thì logab>0⇔b>1; logab<0⇔0<b<1.
b) Nếu 0<a<1;b>0 thì logab<0⇔b>1; logab>0⇔0<b<1.
c) Nếu 0<a≠1;b,c>0 thì logab=logac⇔b=c.
Logarit thập phân log10b=logb(=lgb) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.
II. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa logarit sử dụng những tính chất của logarit.
- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n) → nhân, chia → cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc → lũy thừa (căn bậc n) → nhân, chia → cộng, trừ.
III. Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit.
Phương pháp:
- Bước 1: Đưa các logarit về cùng cơ số (nếu có thể)
- Bước 2: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit.
- Bước 3: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.
IV. Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.
Phương pháp:
- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.
- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n) → nhân, chia → cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc → lũy thừa (căn bậc n) → nhân, chia → cộng, trừ.
