I. Dãy số có giới hạn 0
Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết: lim, viết tắt là \lim \left( {{u_n}} \right) = 0 hoặc \lim {u_n} = 0.
Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp:
\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..
Định lý 1: Cho hai dãy số \left( {{u_n}} \right) và \left( {{v_n}} \right). Nếu \left| {{u_n}} \right| \le {v_n} với mọi n và \lim {v_n} = 0 thì \lim {u_n} = 0.
Định lý 2: Nếu \left| q \right| < 1 thì \lim {q^n} = 0.
II. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Ta nói dãy số \left( {{u_n}} \right) có giới hạn là số thực L nếu \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0.
Khi đó, ta viết: \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L, viết tắt là \lim \left( {{u_n}} \right) = L hoặc \lim {u_n} = L.
Định lý 1: Giả sử \lim {u_n} = L. Khi đó:
i) \lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right| và \lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}.
ii) Nếu {u_n} \ge 0 với mọi n thì L \ge 0 và \lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L
Định lý 2: Giả sử \lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M và c là một hằng số. Khi đó:
i) Các dãy số \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right) và \left( {c.{u_n}} \right) có giới hạn là:
+) \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M
+) \lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M
+) \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M
+) \lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L
ii) Nếu M \ne 0 thì dãy số \left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) có giới hạn là \lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Với cấp số nhân \left( {{u_n}} \right) có công bội q thỏa mãn \left| q \right| < 1 thì:
S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}
III. Dãy số có giới hạn vô cực
Định nghĩa:
a) Dãy số \left( {{u_n}} \right) có giới hạn + \infty nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = + \infty , viết tắt là \lim \left( {{u_n}} \right) = + \infty hoặc \lim {u_n} = + \infty .
b) Dãy số \left( {{u_n}} \right) có giới hạn - \infty nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = - \infty , viết tắt là \lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty hoặc \lim {u_n} = - \infty .
Nhận xét:
i) \lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty , \lim \sqrt[3]{n} = + \infty
ii) Nếu \lim {u_n} = - \infty thì \lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty
Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:
