I. Hệ tọa độ trong không gian
- Hệ trục tọa độ Oxyz với các véc tơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz theo thứ tự là →i,→j,→k với:
|→i|=|→j|=|→k|=1 hoặc →i2=→j2=→k2=1 và →i.→j=→j.→k=→k.→i=0
- Các trục tọa độ Ox: trục hoành; Oy: trục tung; Oz: trục cao.
- Các mặt phẳng tọa độ: (Oxy),(Oyz),(Ozx).
II. Tọa độ điểm trong không gian
- Điểm M(x;y;z)⇔→OM=x.→i+y.→j+z.→k
- Nếu I;J;K là hình chiếu của M lên các trục Ox,Oy,Oz thì I(x;0;0),J(0;y;0),K(0;0;z), x=¯OI,y=¯OJ,z=¯OK.
- Nếu D;E;F là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oyz),(Ozx) thì D(x;y;0),E(0;y;z),F(x;0;z).
Khi chiếu một điểm lên các trục tọa độ hoặc mặt phẳng tọa độ thì ta có thể nhớ theo quy tắc: “Chiếu lên cái gì thì giữ nguyên cái đó, còn lại cho bằng 0”.
- Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)
- Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3)
- Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là (xA+xB+xC+xD4;yA+yB+yC+yD4;zA+zB+zC+zD4)
III. Tọa độ véc tơ
1. Định nghĩa
Trong không gian tọa độ Oxyz cho véc tơ →u. Tồn tại duy nhất bộ số thực (x;y;z) sao cho →u=x.→i+y.→j+z.→k. Khi đó (x;y;z) được gọi là tọa độ của véc tơ →u. Kí hiệu →u=(x;y;z) hoặc →u(x;y;z).
2. Tính chất
Cho các véc tơ →u1(x1;y1;z1) và →u2(x2;y2;z2),k là một số thực tùy ý. Ta có các tính chất sau:
+) →u1=→u2⇔{x1=x2y1=y2z1=z2
+) →u1±→u2=(x1±x2;y1±y2;z1±z2)
+) k→u1=(kx1;ky1;kz1)
+) →u1.→u2=x1x2+y1y2+z1z2
+) |→u1|=√→u12=√x21+y21+z21
+) →u1⊥→u2⇔→u1.→u2=0 ⇔x1x2+y1y2+z1z2=0
+) cos(→u1,→u2)=→u1.→u2|→u1|.|→u2| =x1x2+y1y2+z1z2√x21+y21+z21.√x22+y22+z22 với →u1≠→0,→u2≠→0
3. Liên hệ giữa tọa độ véc tơ và tọa độ các điểm mút
+) →AB=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)
+) AB=|→AB| =√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
