I. Cấp số cộng
- Dãy số (un) là cấp số cộng ⇔un=un−1+d,∀n≥2
- Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Tính chất:
+) uk=uk−1+uk+12,∀k≥2
+) Số hạng tổng quát: un=u1+(n−1)d
+) Tổng n số hạng đầu: Sn=u1+u2+...+un=(u1+un).n2=[2u1+(n−1)d].n2
Trường hợp đặc biệt của cấp số cộng:
Nếu công sai bằng 0 thì cấp số cộng là 1 dãy hằng.
Chẳng hạn 1; 1; 1; … là cấp số cộng với công sai bằng 0.
II. Tìm công sai của cấp số cộng
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.
Ví dụ:
Cho một cấp số cộng (un) có u1=1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính công sai d.
Lời giải:
Ta có S100=24850⇔1002(u1+u100)=24850⇔u100=496.
Mà u100=u1+99d⇒d=u100−u199⇔d=5.
III. Tìm số hạng của cấp số cộng
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n−1)d
Ví dụ:
Cho cấp số cộng (un) với u1=1,d=3.
Số hạng thứ 100 là: u100=u1+99d=1+99.3=298
IV. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy
Phương pháp:
Sử dụng công thức Sn=u1+u2+...+un=(u1+un).n2=[2u1+(n−1)d].n2
Ví dụ:
Cho cấp số cộng (un) với u1=1,d=3.
Tổng 100 số hạng đầu là: S100=[2.u1+99d].1002=14950
V. Tìm cấp số cộng
Phương pháp chung:
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n−1)d.