I. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.
II. Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn
Định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
III. Các định lý về tính liên tục của hàm số
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác \(0\)).
Định lý 2:
a) Hàm đa thức liên tục trên \(R\).
b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 3: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) lên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
IV. Các dạng toán về tính liên tục của hàm số
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số.
- Bước 1: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)
- Bước 2: So sánh và kết luận.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại \({x_0}\).
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) thì kết luận hàm số không liên tục tại \({x_0}\).
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
- Bước 2: Chứng minh \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\).
- Bước 3: Kết luận phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Đối với bài toán chứng minh phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm mà không cho khoảng nào thì ta cần tìm hai số \(a,b\) sao cho \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\).
