Nguyên hàm (đổi biến)

I. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến t=u(x)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}$.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1$ $\Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Do đó: $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx}$ $= \int {t.2tdt}  = \int {2{t^2}dt}  = \dfrac{2}{3}{t^3} + C$ $= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}  + C$.

II. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến x=u(t)

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in  \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t}  = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0$ $\Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x}  = \cos x$)

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là: