Phương trình lượng giác cơ bản

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

I. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình \(\sin x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

b) Phương trình \(\cos x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x =  - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

c) Phương trình \(\tan x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

d) Phương trình \(\cot x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

e) Các trường hợp đặc biệt

\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

\( + )\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)

\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\)  \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)

II. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình \(at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)\) với \(t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)\) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).

- Cách giải: Biến đổi \(at + b = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{b}{a}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.

III. Kĩ năng tổng hợp và loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

1. Lý thuyết

Phương trình lượng giác cơ bản - ảnh 1

2. Ví dụ

Tìm và biểu diễn các nghiệm của phương trình sau trên đường tròn lượng giác:

a) \(\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị:

Phương trình lượng giác cơ bản - ảnh 2

Ở đó, hai điểm \({M_1},{M_2}\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và hai điểm \({M_3},{M_4}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \).

b) \(\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\)

Điều kiện: \(1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1\) \( \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Phương trình \( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Phương trình lượng giác cơ bản - ảnh 3

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là \({M_1},{M_2}\) nhưng điều kiện là \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\) là \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) nhưng do không lấy hai điểm \({M_1},{M_2}\) nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn \({M_3},{M_4}\).

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua \(O\) và \(\widehat {AO{M_4}} =  - \dfrac{\pi }{4}\) nên nghiệm của phương trình là \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\dfrac{{\sqrt 3 \cot 2x - 1}}{{2\cos x + 1}} = 0\)

Điều kiện: \(2\cos x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne  - \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x \ne  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cot 2x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Phương trình lượng giác cơ bản - ảnh 4

Ở đó, điểm \(M\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) và điểm \({M_3}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định).

Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) là các điểm biểu diễn nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\), trong đó không lấy điểm \({M_3}\) do điều kiện xác định.

Do đó, chỉ còn lại hai điểm \({M_1},{M_2}\) (với \(\widehat {AO{M_1}} = \dfrac{\pi }{6}\)) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) và điểm \({M_4}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) (với \(\widehat {AO{M_4}} =  - \dfrac{\pi }{3}\)).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) hoặc \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).