I. Hàm số logarit
- Hàm số logarit cơ số \(a\) là hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
- Hàm số logarit có đạo hàm tại \(\forall x > 0\) và \(y' = \left( {{{\log }_a}x} \right)' = \dfrac{1}{{x\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)' = \dfrac{1}{x}\) )
- Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\).
- Đạo hàm: \(y = {\log _a}x \Rightarrow y' = \left( {{{\log }_a}x} \right)' = \dfrac{1}{{x\ln a}};y = {\log _a}u\left( x \right) \Rightarrow y' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)' = \dfrac{1}{x}\) )
Khảo sát \(y = {\log _a}x\):
- TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
- Chiều biến thiên:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 0\).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {a;1} \right)\).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì \(x > 0\).
+ Dáng đồ thị:
II. Tính giới hạn các hàm số
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\log }_a}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \dfrac{1}{{\ln a}}\)
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y' = 0\).
- Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\).
- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
