Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

I. Các định nghĩa và tính chất về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: d(a,b)=MN trong đó Ma,NbMNa,MNb.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và mặt phẳng

Kí hiệu: d(a,b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P),(Q)) trong đó (P),(Q) hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a,b(P)//(Q)

II. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

+) Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của ab, khi đó d(a,b)=MN.

Một số trường hợp hay gặp khi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

Trường hợp 1: ΔΔ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ và vuông góc với Δ tại I.

- Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJΔ.

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(Δ,Δ)=IJ.

Dựng đoạn vuông góc chung

Trường hợp 2: ΔΔ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ và song song với Δ.

- Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống (α) bằng cách lấy điểm MΔ dựng đoạn MN(α), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.

- Bước 3: Gọi H=dΔ, dựng HK//MN

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(Δ,Δ)=HK=MN.

Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Hoặc

- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α)Δ tại I.

- Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ xuống mặt phẳng (α).

- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJd, từ J dựng đường thẳng song song với Δ cắt Δ tại H, từ H dựng HM//IJ.

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(Δ,Δ)=HM=IJ.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau

+) Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ. Khi đó d(Δ,Δ)=d(Δ,(α))

Phương pháp 2 tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Phương pháp 3: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Dựng hai mặt phẳng song song để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

a) MN là đoạn vuông góc chung của ABCD khi và chỉ khi {AM=xABCN=yCDMN.AB=0MN.CD=0

b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương u1,u2 thì OH=d(O,(α)){OHu1OHu2H(α){OH.u1=0OH.u2=0H(α)