Bài tập phóng xạ

  t = 8 tuần = 56 ngày = 7.T .Suy ra sau thời gian t thì khối lượng chất phóng xạ ${}_{53}^{131}$I còn lại là :

  $m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} = {100.2^{ - 7}}$= 0,78 gam .

t = 2 năm, T = 2,6 năm

Ta có: khối lượng hạt nhân đã phân rã: $\Delta m{\rm{ }} = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) \to \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = 1 - {2^{ - \frac{2}{{2,6}}}} = 0,4133 = 41,33\%$

Số hạt nhân nguyên tử có trong 1 gam  ²²⁶Ra là :

$N_0=\dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{1}{{226}}.6,{022.10^{23}} = 2,{6646.10^{21}}$ hạt

Suy ra số hạt nhân nguyên tử Ra phân rã sau 1 s là :

$\Delta N = {N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 2,{6646.10^{21}}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{1}{{1580.365.86400}}}}} \right) = 3,{70.10^{10}}$ hạt

Ta có:

${m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}}}{{{A_{Po}}}}.{A_{Pb}} \\= {m_0}\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}}(1 - {2^{\dfrac{t}{T}}}) \\= 42\dfrac{{206}}{{210}}(1 - {2^{ - \dfrac{{280}}{{140}}}}) = 30,9mg$

Nhận xét : t = 3T nên ta dùng hàm mũ 2 để giải cho nhanh bài toán :

- Khối lượng Na bị phân rã sau t = 45 giờ = 3T :

$\begin{array}{l}\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 12(1 - {2^{ - 3}})\\ \leftrightarrow \Delta m{\rm{ }} = {\rm{ }}10,5{\rm{ }}g\end{array}$

 - Suy ra khối lượng của Mg tạo thành : ${m_{con}} = \dfrac{{\Delta {m_{me}}.{A_{con}}}}{{{A_{me}}}} = \frac{{10,5}}{{24}}.24 = 10,5g$

Ta có $\frac{m}{{{m_0}}}$=$\frac{1}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}$=$\frac{1}{{16}} = \frac{1}{{{2^4}}}$ 

$\to \frac{t}{T} = 4 \Rightarrow T = \frac{t}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$  năm

Theo đề , ta có :$\Delta N = 3N$

$\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{{.2}^{ - \dfrac{t}{T}}}}} = 3 \Leftrightarrow {2^{\dfrac{t}{T}}} - 1 = 3 \Leftrightarrow {2^{\dfrac{t}{T}}} = 4 \Leftrightarrow t = 2T$ 

Gọi m₀ là khối lượng ban đầu của $_{11}^{24}Na$

Khối lượng chất phóng xạ đã bị phân rã:

$\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}})$

Theo đầu bài, ta có: ∆m=0,75m₀

$\to \dfrac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = (1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 0,75 \to {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{4} \to \dfrac{t}{T} = 2 \to t = 2T = 30h00$

Ta có: $N = {N_0}{e^{ - \lambda t}} \Rightarrow$Số hạt bị phân rã là:

$\Delta N = {N_0} - {N_0}{e^{ - \lambda t}} = {N_0}(1 - {e^{ - \lambda t}})$

$\Rightarrow \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 - {e^{ - \lambda t}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = {e^{ - \lambda t}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)}} = {e^{\lambda t}} \Rightarrow \ln {\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = \lambda t$

 Từ đồ thị ta thấy $\lambda  \approx 0,078$

$\Rightarrow T = \dfrac{{\ln 2}}{\lambda } \approx 8,9$ (ngày)

Khối lượng Co còn lại sau 10,66 năm là:

$m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {1000.2^{ - \dfrac{{10,66}}{{5,33}}}} = 250g$

Số nguyên tử Coban còn lại là:

$N = \dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{{250}}{{60}}.6,{02.10^{23}} = 2,{51.10^{24}}$

Số hạt nhân bị phân rã là: $\Delta N = \dfrac{7}{8}{N_0}$

Số hạt nhân còn lại là: $N\left( t \right) = {N_0} - \Delta N = {N_0} - \dfrac{7}{8}{N_0} = \dfrac{1}{8}{N_0}$

$\Rightarrow {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8}{N_0} \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow \dfrac{t}{T} = 3 \Rightarrow t = 3T = 3.138 = 414$ (ngày)