Con lắc đơn

Ta có, vận tốc của con lắc:

${v_{{{15}^0}}} =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - cos}}{\alpha _0})}  =  \pm \sqrt {2.10.0,4(c{\rm{os1}}{{\rm{5}}^0}{\rm{ - cos3}}{{\rm{0}}^0})}  =  \pm 0,894m/s$

Ta có chu kì dao động của con lắc đơn: $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}$

=> Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều dài con lắc đơn (l) và gia tốc trọng trường (g)

Ta có, tỉ số trọng lượng và khối lượng của con lắc là:

$\frac{P}{m} = \frac{{mg}}{m} = g$

A, B, D - loại

Ta có chu kì dao động của con lắc đơn:

$T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,64}}{{{\pi ^2}}}}  = 1,6{\rm{s}}$

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài l:

${T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài 2l:

${T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{2l}}{g}}  = \sqrt 2 {T_1} = 2\sqrt 2 s$

+ Chu kì dao động:

$T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to l = \dfrac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \dfrac{{{2^2}.10}}{{4{\pi ^2}}} = 1m$

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

${v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})}  \to {\alpha _0} =  \pm \sqrt {\dfrac{{{v_\alpha }^2}}{{gl}} + {\alpha ^2}}  =  \pm \sqrt {\dfrac{{0,{{287}^2}}}{{10.1}} + {{\left( {\dfrac{{3\pi }}{{180}}} \right)}^2}}  = 0,105ra{\rm{d}} = {6^0}$

+ Tần số dao động của con lắc đơn có chiều dài l₁:

${f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{{l_1}}}}$

+ Tần số dao động của con lắc đơn có chiều dài l₂:

${f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{{l_2}}}}$

$\to \dfrac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{l_2}}}{{{l_1}}}}$

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc:

$T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = \dfrac{{20}}{{10}} = 2{\rm{s}}$

Mặt khác, ta có:

$T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to g = \dfrac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}.1}}{{{2^2}}} = {\pi ^2} \approx 9,869m/{s^2}$

Lực căng dây treo khi vật qua vị trí cao nhất :

$T = mg(3c{\rm{os}}{\alpha _0}{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = mg({\rm{cos}}{\alpha _0}) = 0,1.10.c{\rm{os3}}{{\rm{0}}^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}N$

Ta có:

- Tần số dao động của con lắc đơn lúc đầu: ${f_1} = \dfrac{{40}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{\ell }}$

- Tần số dao động của con lắc đơn khi tăn chiều dài dây của dây treo thêm 19cm: ${f_2} = \dfrac{{36}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\ell  + 0,19}}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \dfrac{{40}}{{36}} = \sqrt {\dfrac{{l + 0,19}}{l}} {\rm{}} \to l = 0,81m = 81cm$

Ta có: lực căng dây được xác định bằng biểu thức:

$\begin{array}{l}T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = P = mg\\ \to 3c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{2cos}}{\alpha _0} = 1\\ \to c{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{1 + 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{3} = \dfrac{{1 + 2.0,97}}{3} = 0,98\end{array}$

Ta có: Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa:

$W = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = \dfrac{1}{2}0,09.10.1.{\left( {\dfrac{{6\pi }}{{180}}} \right)^2} = 4,{9.10^{ - 3}}J$

Từ phương trình li độ dài: $s = 10sin(2t)$

Tại $t = \dfrac{\pi }{6}s$, ta có

$s = 10sin(2.\dfrac{\pi }{6}) = 5\sqrt 3 cm$

Thế năng tại thời điểm đó:

${{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{(5\sqrt 3 {.10^{ - 2}})^2} = {3.10^{ - 3}}J$

Cơ năng của con lắc đơn:

$W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{({10.10^{ - 2}})^2} = {4.10^{ - 3}}J$

=> Động năng của  con lắc tại thời điểm đó:

${{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = {4.10^{ - 3}} - {3.10^{ - 3}} = {10^{ - 3}}J$

+ Tần số góc : $\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{l}}  = \sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{1}}  = \pi \,\left( {rad/s} \right)$

+ Ta có : ${\alpha _0} = {9^0} = \dfrac{{9\pi }}{{180}} = \dfrac{\pi }{{20}}\left( m \right) \Rightarrow {S_0} = {\alpha _0}.l = 5\pi \,\left( {cm\,} \right)\,$

+ Tại t = 0 thì $\alpha  =  - \dfrac{{{\alpha _0}}}{2} =  - 4,{5^0} \Rightarrow \varphi  =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3}$

Vật chuyển động chậm dần → ra biên $\Rightarrow \varphi  =  + \dfrac{{2\pi }}{3}$

Vậy phương trình dao động: $s = 5\pi \cos \left( {\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm$

Khi chiều dài con lắc là l, chu kì của con lắc là:

$T=\frac{\Delta t}{10}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\Rightarrow l=\frac{{{g}^{2}}.\Delta t}{{{10}^{2}}.4{{\pi }^{2}}}\,\,\left( 1 \right)$

Khi chiều dài của con lắc tăng thêm 36 cm, chu kì của con lắc là:

${T}'=\frac{\Delta t}{8}=2\pi \sqrt{\frac{l+0,36}{g}}\Rightarrow l+0,36=\frac{{{g}^{2}}.\Delta t}{{{8}^{2}}.4{{\pi }^{2}}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{l}{l+0,36}=\frac{{{8}^{2}}}{{{10}^{2}}}\Rightarrow l=0,64\,\,\left( m \right)=64\,\,\left( cm \right)$