I. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng
+) Véc tơ →n(≠→0) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của nó vuông góc với (P).
+) Hai véc tơ không cùng phương →a,→b được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu giá của chúng nằm trong (P) hoặc song song với (P).
+) Nếu →n là một VTPT của (P) thì k.→n(k≠0) cũng là VTPT của (P), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.
+) Nếu →a,→b là cặp VTCP của (P) thì [→a,→b] là một VTPT của (P).
II. Phương trình mặt phẳng
+) Mặt phẳng (P) đi qua M(x0;y0;z0) và nhận →n=(a;b;c) làm VTPT thì (P) có phương trình:
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
+) Nếu a2+b2+c2>0 (a,b,c không đồng thời bằng 0) thì phương trình ax+by+cz+d=0 là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là →n=(a;b;c).
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0;(Q):a′x+b′y+c′z+d′=0 có các VTPT lần lượt là →n=(a;b;c),→n′=(a′;b′;c′). Khi đó hai mặt phẳng:
- cắt nhau nếu →n≠k.→n′
- song song nếu →n=k.→n′ và d≠k.d′
- trùng nhau nếu →n=k.→n′ và d=k.d′
- vuông góc nếu →n.→n′=0.
Nếu a′b′c′d′≠0 thì:
+) aa′≠bb′ hoặc bb′≠cc′ hoặc aa′≠cc′ thì (P),(Q) cắt nhau.
+) aa′=bb′=cc′≠dd′ thì (P)//(Q)
+) aa′=bb′=cc′=dd′ thì (P)≡(Q)
+) a.a′+b.b′+c.c′=0 thì (P)⊥(Q).
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến (P):ax+by+cz+d=0 là:
d(M;(P))=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
- Đặc biệt, nếu điểm M(x0;y0;z0)∈(P) thì d(M;(P))=0
V. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0;(Q):a′x+b′y+c′z+d′=0
Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) là góc có:
cos((P),(Q))=|cos(→n1,→n2)|=|→n1.→n2||→n1|.|→n2|=|a.a′+b.b′+c.c′|√a2+b2+c2.√a′2+b′2+c′2
Góc giữa hai mặt phẳng là α thì 0≤α≤900⇒0≤cosα≤1.
