Phương trình lượng giác cơ bản

I. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình $\sin x = m$.

+) Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.$

Đặc biệt: $\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

b) Phương trình $\cos x = m$.

+) Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x =  - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.$

Đặc biệt: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

c) Phương trình $\tan x = m$.

Phương trình luôn có nghiệm $x = \arctan m + k\pi$.

Đặc biệt: $\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

d) Phương trình $\cot x = m$.

Phương trình luôn có nghiệm $x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi$.

Đặc biệt: $\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

e) Các trường hợp đặc biệt

$+ )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;$ $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

$+ )\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;$ $\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi$

$+ )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;$  $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$

II. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình $at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)$ với $t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)$ là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác $\sin ,\cos ,\tan ,\cot$.

- Cách giải: Biến đổi $at + b = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{b}{a}$ và giải phương trình lượng giác cơ bản.

III. Một số chú ý khi giải phương trình

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa $\tan ,\cot$, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.