I. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình \(\sin x = m\).
+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\)
Đặc biệt: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = m\).
+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\)
Đặc biệt: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
c) Phương trình \(\tan x = m\).
Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
d) Phương trình \(\cot x = m\).
Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
e) Các trường hợp đặc biệt
\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
\( + )\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \)
\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)
II. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình \(at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)\) với \(t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)\) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).
- Cách giải: Biến đổi \(at + b = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{b}{a}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.
III. Một số chú ý khi giải phương trình
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
