I. Vi phân
df(x)=f′(x)dx hoặc dy=y′dx
II. Đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm f′(x).
+ Nếu hàm số f′(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là f″.
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: S = s\left( t \right).
Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm {t_0} là: v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm {t_0} là: a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)
+ Đạo hàm cấp n\left( {n \in N,n \ge 2} \right) của hàm số y = f\left( x \right), kí hiệu là {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) hay {y^{\left( n \right)}} là đạo hàm cấp một của hàm số {f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right), tức là {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'
III. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản
+) {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)
+) {\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)
+) Nếu n \le m thì \left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}
+) Nếu n>m thì {\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0.
\begin{array}{l} + )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ + )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ + )y = \dfrac{1}{{ax + b}}\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\ + )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \dfrac{1}{m}.\left( {\dfrac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}} \end{array}
