Tích phân

I. Khái niệm tích phân

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right],F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Hiệu $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân của $f$ từ $a$ đến $b$. Kí hiệu:

II. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số $f,g$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right],c$ là điểm bất kì thuộc $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó ta có:

a) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0$

b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx}$

c) $\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

d) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}$

e) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;$ $\forall b \in \left[ {a;c} \right]$

f) $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}$ $= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

g) Nếu $f\left( x \right) \ge 0$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$

h) Nếu $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$.

III. Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,...) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz:

IV. Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$, phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm $f\left( x \right)$ trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$ rồi tính lần lượt các tích phân đó.