Bất phương trình logarit

I. Tính đơn điệu của hàm số logarit

- Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {\log _a}x\)

+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến.

+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến.

II. Giải bất phương trình logarit

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)                         

D. \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \(a > 1\): \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).

Khi đó, \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow  - x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \le 1\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(\dfrac{1}{2} < x \le 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\).

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\) là:

A. \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]\)

B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)            

C. \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)                          

D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(x > 0\) ta được \(x \ge \dfrac{1}{4}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\).

Chọn C.

III. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).

A. \(m = 4\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 5\)                            

D. \(m = 3\)

Phương pháp:

- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số \(5\), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

- Giải điều kiện trên suy ra \(m\).

Cách giải:

Điều kiện: \(m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}5 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right){x^2} + 4x + m - 5 \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\\Delta ' = 4 - {\left( {m - 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ - {m^2} + 10m - 21 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện trên ta được \(2 < m \le 3\).

Do đó giá trị lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m = 3\).

Chọn D.