Bất phương trình logarit

I. Tính đơn điệu của hàm số logarit

- Tính đơn điệu của các hàm số $y = {\log _a}x$

+ Với $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến.

+ Với $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến.

II. Giải bất phương trình logarit

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right)$ là:

A. $\left( { - \infty ;1} \right]$

B. $\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]$

C. $\left( {0;1} \right)$                         

D. $\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)$

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số $a > 1$: ${\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ .

Cách giải:

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$.

Khi đó, ${\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow  - x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \le 1$.

Kết hợp với điều kiện xác định ta được $\dfrac{1}{2} < x \le 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]$.

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ${\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0$ là:

A. $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]$

B. $\left( {0; + \infty } \right)$            

C. $\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)$                          

D. $\left( { - \infty ; - 1} \right]$

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: $x > 0$

$\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}$

Kết hợp điều kiện $x > 0$ ta được $x \ge \dfrac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)$.

Chọn C.

III. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của $m$ để bất phương trình $1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in R$.

A. $m = 4$

B. $m = 2$

C. $m = 5$                            

D. $m = 3$

Phương pháp:

- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số $5$, nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.

- Giải điều kiện trên suy ra $m$.

Cách giải:

Điều kiện: $m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Ta có:

$\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}5 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right){x^2} + 4x + m - 5 \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\\Delta ' = 4 - {\left( {m - 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ - {m^2} + 10m - 21 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\end{array}$

Kết hợp với điều kiện trên ta được $2 < m \le 3$.

Do đó giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn là $m = 3$.

Chọn D.