I. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \(a{x^2} + bx + c\). Trong đó \(a,b,c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\); \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).
Ví dụ:
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai
b) Biểu thức \(g\left( x \right) = - 2x + 5\) không phải là một tam thức bậc hai.
II. Dấu của tam thức bậc hai
Định lí.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).
- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).
- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).
- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)
Chú ý:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$
$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
Ví dụ:
a) Xét dấu tam thức bậc hai:\(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 1\)
Có \(\Delta = - 7 < 0\) và \(a = - 2 < 0\) nên \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
b) Xét dấu tam thức bậc hai:\(f\left( x \right) = - {x^2} + 5x - 4\)
Có \(\Delta = 9 > 0,\,\,a = 1 < 0\) và có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 4;\,\,{x_2} = 1\).
Áp dụng quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\), ta suy ra:
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {1;4} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
