Phương trình phức

I. Phương trình bậc hai nghiệm phức

Xét phương trình bậc hai tổng quát: $A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)$.

- Biệt thức $\Delta  = {B^2} - 4AC$.

+ Nếu $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}$

+ Nếu $\Delta  \ne 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}$ (ở đó $\sqrt \Delta$ là kí hiệu căn bậc hai của số phức $\Delta$)

- Hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.$

II. Giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$.

Giải:

Ta có: $\Delta  = {1^2} - 4.1.1 =  - 3$, các căn bậc hai của $- 3$ là $i\sqrt 3$ và $- i\sqrt 3$

Do đó phương trình có nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ và ${z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}$

III. Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ: Biết phương trình $2{z^2} + 4z + 3 = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1},\,\,{z_2}$. Tính giá trị của $|z_1+z_2|$.

Giải:

Theo định lý Vi-et ta có: $z_1+z_2=-\dfrac{4}{2}=-2$

=>$|z_1+z_2|=2$

IV. Giải phương trình nghiệm phức bậc cao

Ví dụ: Giải phương trình ${z^4} + 1 = 0$.

Giải:

Ta có: ${z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  - i\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức $z' = i$.

Gọi $w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z' = i$. Khi đó:

${w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.$

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức $z' =  - i$

Vì $z' =  - i = {i^2}.i$ nên các căn bậc hai của $z'$ là $i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$ và $i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$

Vậy phương trình có các nghiệm ${z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$.