Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

I. Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $H$, trong đó $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $\Delta$.

Kí hiệu: $d\left( {M,\Delta } \right) = MH$ trong đó $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$.

II. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $\Delta$, rồi xem $MH$ là đường cao của một tam giác nào đó để tính.

Điểm $H$ thường được dựng theo hai cách sau:

Cách 1: Trong $mp\left( {M,\Delta } \right)$ vẽ $MH \bot \Delta  \Rightarrow d\left( {M,\Delta } \right) = MH$

Cách 2: Dựng mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ tại $H$.

Khi đó $d\left( {M,\Delta } \right) = MH$.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $SA$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ và $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}3a.$ Diện tích tam giác $ABC$ bằng $2{a^2},BC = a$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

A. $2a.$                                             B. $4a.$

C. $3a.$                                              D. $5a.$

Hướng dẫn giải:

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \dfrac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{4{a^2}}}{a} = 4a$

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Lại có $AH \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH$

Do đó khoảng cách từ $S$ đến $BC$ chính là $SH.$

Dựa vào tam giác vuông $\Delta SAH$ ta có $SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}}  = 5a$