Bài toán tương giao đồ thị

I. Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

- Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

II. Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = g\left( x \right)$.

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ trên TXĐ.

+ Tính $h'\left( x \right)$, giải phương trình $h'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm và các điểm $h'\left( x \right)$ không xác định.

+ Xét dấu $h'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$.

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $h\left( x \right)$ với trục hoành (đường thẳng $y = 0$)

III. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(x) có nghiệm trên đoạn cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

+ Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và các điểm $f'\left( x \right)$ không xác định.

+ Xét dấu $f'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình $f\left( x \right) = g\left( m \right)$ có một, hai,… nghiệm là đường thẳng $y = g\left( m \right)$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, từ đó suy ra điều kiện của $g\left( m \right)$.

- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn $m$ ở trên và tìm điều kiện của $m$.

IV. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được $m$ và $x$)

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = 0$

- Bước 2: Tính $y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac$

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm:

+) Phương trình có $1$ nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$.

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu $f\left( {{x_1}} \right) = 0$ hoặc $f\left( {{x_2}} \right) = 0$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$.

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\end{array} \right.$

- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của $m$.

V. Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 cắt trục hoành

Cho hàm số bậc 4 $y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c$

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được $m$ và $x$)

Phương pháp:

- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = 0$

- Bước 2: Đặt $t = {x^2} \ge 0$, phương trình trở thành $a{t^2} + bt + c = 0\left( * \right)$.

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng $0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.$

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng $0$ hoặc có 1 nghiệm bằng $0$ và 1 nghiệm âm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$.

- Bước 4: Kết luận điều kiện của $m$