Tích có hướng và ứng dụng

I. Tích có hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Cho các véc tơ $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là véc tơ $\overrightarrow u$, kí hiệu  $\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$ hoặc $\overrightarrow u = \overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}}$ và được xác định bằng tọa độ như sau:

Véc tơ $\overrightarrow u$ vuông góc với cả hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$

- Tính chất:

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] =  - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương $\overrightarrow {{u_2}}$

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} ;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}}$

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0 \Leftrightarrow$ ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$  đồng phẳng.

+) $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

II. Ứng dụng tích có hướng

- Diện tích tam giác:

- Diện tích hình bình hành:

- Thể tích tứ diện:

- Thể tích khối hộp:

+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.

Ví dụ: Cho hai véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {1;5;3} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {2; - 1;0} \right)$. Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.

Giải:

Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)

Vậy $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {3;6; - 11} \right)$.