Phương trình đường thẳng

I. Phương trình đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

ở đó $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm thuộc dường thẳng và $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$  là VTCP của đường thẳng.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)$

ở đó $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm thuộc dường thẳng và $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$  là VTCP của đường thẳng.

II. Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,...

III. Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho.

- Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ thì có:

+ Phương trình chính tắc: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)$

+ Phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

IV. Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp chung:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua $A$.

- Bước 2: Tìm VTCP $\overrightarrow u$ của đường thẳng.

- Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.

+) Đi qua hai điểm.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTCP.

+) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.

Đường thẳng $d$ qua $A$ và song song với $d'$ thì $d$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{u_{d'}}}$

+) Đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ thì $d$ có VTCP $\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$