I. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).
Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) với \(c\) là hằng số.
Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)
Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
II. Giới hạn một bên
Số \(L\) là:
+ giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)
+ giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Định lý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
III. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to + \infty \) (hoặc \(x \to - \infty \)) kí hiệu là:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\))
Với \(c,k\) là hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\).
IV. Giới hạn vô cực của hàm số
a) Giới hạn vô cực
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là \( \pm \infty \) khi \(x \to \pm \infty \) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = x = \pm \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
b) Một vài giới hạn đặc biệt
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với \(k\) nguyên dương.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
