Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta$ (đi qua $M$ và có VTCP $\overrightarrow u$). Khi đó:

+) $\Delta  \cap \left( S \right) = \emptyset  \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) > R$.

+) $\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R$.

+) $\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) < R$.

ở đó ${R^2} = {d^2}\left( {I,\Delta } \right) + \dfrac{{A{B^2}}}{4}$ và $AB = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\Delta } \right)}$

II. Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với $R$.

- Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

- Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

III. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.

- Bước 2: Xét phương trình giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$, điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

IV. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp chung:

Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.