Lũy thừa

I. Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Cho $a > 0,a \in R,\alpha$ là một số vô tỉ, khi đó ${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}$ với $\left( {{r_n}} \right)$ là dãy số hữu tỉ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha$.

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho $a,b > 0;x,y \in R$ ta có:

1/ ${a^x}.{a^y} = {a^{x + y}}$

2/ ${a^x}:{a^y} = {a^{x - y}}$

3/ ${\left( {{a^x}} \right)^y} = {a^{xy}}$

4/ ${\left( {ab} \right)^x} = {a^x}{b^x}$

5/ ${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^x} = \dfrac{{{a^x}}}{{{b^x}}}$

6/ ${a^x} > 0,\forall x \in R$

7/ ${a^x} = {a^y} \Leftrightarrow x = y\left( {a \ne 1} \right)$

8/ Với $a > 1$ thì ${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$; với $0 < a < 1$ thì ${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y$.

9/ Với $0 < a < b$ và $m$ nguyên dương thì ${a^m} < {b^m}$; $m$ nguyên âm thì ${a^m} > {b^m}$

III. Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

- Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $\to$ lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

IV. Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)        

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc $n$.

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.