Phương trình đường elip

I. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định ${F_1},\,\,{F_2}$ với ${F_1}{F_2} = 2c\left( {c > 0} \right)$ và hằng số $a > c$.

Elip $(E)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{F_1} + M{F_2} = 2a$.

Các điểm ${F_1},\,\,{F_2}$ là tiêu điểm của $(E).$

Khoảng cách ${F_1}{F_2} = 2c$ là tiêu cự của $(E).$

$M{F_1},\,\,M{F_2}$ được gọi là bán kính qua tiêu.

II. Phương trình chính tắc của elip

Với ${F_1}\left( { - c;0} \right),\,\,{F_2}\left( {c;0} \right)$:

 $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( 1 \right)$ trong đó ${b^2} = {a^2} - {c^2}$

(1) được gọi là phương trình chính tắc của $(E)$

III. Hình dạng và tính chất của elip

Elip có phương trình $(1)$ nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái ${F_1}\left( { - c;0} \right)$, tiêu điểm phải ${F_2}\left( {c;0} \right)$

+ Các đỉnh: ${A_1}\left( { - a;0} \right),\,\,{A_2}\left( {a;0} \right),$ ${B_1}\left( {0; - b} \right),\,\,{B_2}\left( {0;b} \right)$

+ Trục lớn: ${A_1}{A_2} = 2a$, nằm trên trục $Ox;$ trục nhỏ :${B_1}{B_2} = 2b$, nằm trên trục $Oy$

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x =  \pm a,\,y =  \pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Tâm sai: $e = \dfrac{c}{a} < 1$

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ thuộc $(E)$ là:

$M{F_1} = a + e{x_M} = a + \dfrac{c}{a}{x_M},$ $M{F_2} = a - e{x_M} = a - \dfrac{c}{a}{x_M}$