I. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình \({\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình logarit cơ bản.
Điều kiện xác định: \(x > 0\).
Với mọi \(m \in R\) thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^m}\).
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x = - 2\).
Ta có: \({\log _5}x = - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}\).
II. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi các logarit về cùng cơ số.
- Bước 2: Sử dụng kết quả \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên.
- Bước 4: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)
III. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình logarit
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm \({\log _a}f\left( x \right)\) chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.
- Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.
- Bước 4: Kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}\).
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \dfrac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).
IV. Phương pháp mũ hóa
Phương trình có dạng \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
- Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế:
\({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)
ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)
V. Phương trình đưa về phương trình tích giải phương trình logarit
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
- Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.
- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
VI. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
+ Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.
- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.
