I. Tính giới hạn dãy đa thức
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung.
- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn lim.
Ta có: \lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = + \infty
II. Tính giới hạn dãy số hữu tỉ
Phương pháp:
- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.
- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn \lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}}.
Ta có: \lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2
III. Giới hạn của dãy số chứa căn thức
Phương pháp:
- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.
+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.
+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:
- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.
Ví dụ: Tính giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right).
Ta có:
\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}} = \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}} = \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1
IV. Dãy số chứa lũy thừa, mũ
Phương pháp:
- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.
- Bước 2: Sử dụng nhận xét \lim {q^n} = 0 với \left| q \right| < 1.
Ví dụ: \lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}
V. Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa
Phương pháp:
Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right).
Nếu {u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n và \lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L.
Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa \sin ,\cos .
Ví dụ: Tính \lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}.
Ta có: - 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}
Mà \lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0 nên \lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0.
