Hai đường thẳng vuông góc

I. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Véc tơ $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$ là VTCP của $d$ nếu giá của $\overrightarrow a$ song song hoặc trùng với $d$.

II. Góc giữa hai đường thẳng

- Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà $a$ và $b$ cắt nhau tạo nên.

- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.

Kí hiệu: $a//a',b//b' \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}$.

- Giả sử $\overrightarrow u$ là VTCP của $a,\overrightarrow v$ là VTCP của $b,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \alpha$. Khi đó:

- Nếu $a//b$ hoặc $a \equiv b$ thì $\widehat {\left( {a,b} \right)} = {0^0}$

III. Hai đường thẳng vuông góc

+) $a \bot b \Leftrightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = {90^0}$

+) Giả sử $\overrightarrow u$ là VTCP của $a,\overrightarrow v$ là VTCP của $b$. Khi đó $a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0$.

IV. Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

V. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0$, trong đó $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là các VTCP của ${d_1},{d_2}$.

Cách 2: Sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa ${d_1},{d_2}$ và tính trực tiếp góc đó.