Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên  ta có

$2a - 3b = 9 \Rightarrow $$b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119 \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071 \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0$

$\Delta ' = 6084 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\,\left( N \right)\\a =  - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $a = 12 \Rightarrow b = 5$

Vậy số  lớn hơn là $12$ .

TH1:  với \(10 \le \left( {4x - 30} \right).2 - 10 \le 99,x \in \mathbb{Z}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 \le x \le \dfrac{{169}}{8},x \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow 10 \le x \le 21\end{array}\)

TH2: với \( - 99 \le \left( {4x - 30} \right).2 - 10 \le  - 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3,625 \le x \le 7,5\\ \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 7\end{array}\)

Vậy số lớn nhất của \(x\) là 21.

Vậy hàng đơn vị của số cần tìm là 1.

Gọi số bé hơn là $a;a \in {\mathbb{N}^*}$ thì số lớn hơn là $a + 1$

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$ nên ta có phương trình

$a\left( {a + 1} \right) - \left( {a + a + 1} \right) = 109$$ \Leftrightarrow {a^2} - a - 110 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 11} \right)\left( {a + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 11\,\left( N \right)\\a =  - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy số bé hơn là $11$.

Bước 1:

Gọi số người nữ là \(x\left( {x \in \mathbb{N}^*,x < 35} \right)\).

Bước 2:

Số người nam là \(35 - x\).

Số lượt khiêu vũ của tất cả nữ là \(3x\).

Số lượt khiêu vũ của tất cả nam là \(4.\left( {35 - x} \right)\)

Bước 3:

Vì mỗi người nam khiêu vũ với đúng 4 người nữ và mỗi người nữ khiêu vũ với đúng 3 người nam nên ta có số lượt khiêu vũ của tất cả nam bằng số lượt khiêu vũ của tất cả nữ.

Ta được phương trình \(4.\left( {35 - x} \right) = 3x\)

Bước 4:

\( \Leftrightarrow x = 20\)(TM).

Vậy số người nữ là 20 người.

Bước 1:

Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\left( {a,b,c \in \mathbb{N}^*} \right)\).

Bước 2:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

\(2a < a + b + c = 8 \Rightarrow a < 4 \Leftrightarrow a \le 3\)

Lập luận tương tự ta có: \(b \le 3,c \le 3\).

Vì \(a \le 3,b \le 3 \Rightarrow a + b \le 6\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}a + b + c = 8 \Rightarrow c = 8 - \left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow c \ge 8 - 6 = 2\end{array}\)

Lập luận tương tự ta có: \(a \ge 2,b \ge 2\).

=> \(\left\{ \begin{array}{l}a,b,c \in \mathbb{N}\\2 \le a,b,c \le 3\\a + b + c = 8\end{array} \right.\)

Bước 3:

Khi đó cả 3 số không đồng thời bằng 2 được và cũng không thể đồng thời bằng 3 được.

=> Có ít nhất 1 số bằng 3, giả sử là a.

Để tổng chẵn thì một số khác cũng phải bằng 3, giả sử là b.

Vậy số cuối cùng \(c = 2\).

Bước 4:

Theo công thức Hê – rông ta có diện tích của tam giác là:

\(\begin{array}{l}S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \\ = \sqrt {4.1.1.2}   = 2\sqrt 2 \end{array}\)

với \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = 4\).

Bước 1:

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ) \(\left( {x > 0} \right)\).

Bước 2:

=> Thời gian mà vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là $x+4$ (giờ).

Bước 3: Trong một giờ:

- Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể).

- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x + 4}}\) (bể).

- Vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{6}\) (bể).

Bước 4:

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước trong bể chảy ra, và sau 24 giờ bể lại đầy nước nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}}\)

Bước 5:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}}\\ \Leftrightarrow 48x + 96 = 5{x^2} + 20x\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 28x - 96 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\left( {tm} \right)\\x =  - \dfrac{{12}}{5}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau 8 giờ bể sẽ đầy nước.

Bước 1:

Gọi số quả cam bác nông dân mang đi bán là x (quả), \(\left( {x > 20,x \in \mathbb{N}} \right)\).

Bước 2:

Lần thứ nhất, bác đã bán số quả cam là \(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\) (quả).

Số quả cam còn lại là \(x - \left( {\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\) (quả).

Lần thứ 2, bác bán được \(\dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{8}\) (quả).

Số cam còn lại là: \(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} - \left( {\dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{8}} \right) = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{5}{8}\) (quả).

Lần 3, bác bán được \(\dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{3}{8}x - \dfrac{5}{8}} \right) + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{8}\) (quả).

Số cam còn lại là \(\dfrac{3}{8}x - \dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8}x - \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{3}{4}\) (quả).

Bước 3:

Do số cam còn lại là 10 nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{4}x - \dfrac{3}{4} = 20 \Leftrightarrow x = 83\) (TM).

Vậy bác nông dân mang 83 quả cam đi bán.

Bước 1:

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\left( {km/h} \right),x > 0\).

Bước 2:

Vận tốc của ô tô là \(x + 24\left( {km/h} \right)\)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là \(\dfrac{{120}}{x}\)(h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là \(\dfrac{{120}}{{x + 24}}\)(h)

Đổi 30 phút = \(\dfrac{1}{2}\left( h \right)\), 1 giờ 20 phút = \(\dfrac{4}{3}\left( h \right)\).

Thời gian xe máy đi nhiều hơn thời gian ô tô đi là:

$\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}$

Bước 3:

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{x }}-\dfrac{{120}}{x+24}= \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 24x - 3456= 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 72\left( {ktm} \right)\\x = 48\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 4:

Vậy vận tốc của xe máy là 48 km/h, vận tốc của ô tô là 72 km/h.

Gọi $x$ là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. $\left( {x \in {N^*},x < 84} \right)$

Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: $x + 2$

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch:\(\dfrac{{84}}{x}(h)\)

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế:\(\dfrac{{84}}{{x + 2}}(h)\)

Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định $1h$ nên ta có phương trình: \(\dfrac{{84}}{x} - \dfrac{{84}}{{x + 2}} = 1\)

$ \Leftrightarrow 84\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 126 = 0$

$ \Leftrightarrow x = 12$(nhận) hoặc $x =  - 14$(loại)

Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm $12$ sản phẩm.

Bước 1:

Từ giả thiết bài toán ta có 52% trong số các số được ghi là số chẵn nên ta có số chẵn nhiều hơn số lẻ.

Như vậy dãy số được ghi bắt đầu là số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn.

Bước 2:

Gọi số các số chẵn được ghi là \(x\) số \(\left( {x > 1,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), thì số các số lẻ được ghi là \(x - 1\) số.

Bước 3:

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 1}} = \dfrac{{52}}{{100 - 52}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x - 1}} = \dfrac{{52}}{{48}}\\ \Leftrightarrow 48x = 52x - 52\\ \Leftrightarrow x = 13\left( {tm} \right)\end{array}\)

Bước 4:

Vậy có \(13 - 1 = 12\) số lẻ được ghi trên bảng.

Bước 1: Vận tốc của dòng nước chính là là vận tốc của cây bèo.

Bước 2:

Gọi vận tốc bơi của người là \(x\left( {km/h} \right),\left( {x > 0} \right)\).

Đổi 20 phút = \(\dfrac{1}{3}\left( h \right)\).

Bước 3:

Nếu vận tốc dòng nước bằng 0 thì câu bèo đừng yên cạnh mố cầu, còn người bơi 20 phút được quãng đường là \(S = \dfrac{1}{3}x\left( {km} \right)\).

Vậy sau 20 phút khoảng cách giữa người và bèo là \(S = \dfrac{x}{3}\left( {km} \right)\).

Nhưng dòng nước chảy nên cây bèo trôi theo vận tốc dòng nước và người ngoài quãng đường bơi được thì cũng bị trôi đúng như cây bèo.

Do vậy, sau 20 phút khoảng cách giữa người và cây bèo cũng là S.

Bước 4:

Để khắc phục khoảng cách đó, khi bơi theo hướng ngược lại (xuôi theo dòng nước) người bơi lại cần thời gian cũng là 20 phút.

Vậy thời gian từ lúc xuất phát tới lúc gặp lại cây bèo là

\(20.2 = 40\) phút \( = \dfrac{2}{3}\left( h \right)\).

Thời gian này cây bèo trôi được \(4\left( {km} \right)\).

Vậy vận tốc dòng nước là \(4:\dfrac{2}{3} = 6\left( {km/h} \right)\)

Gọi năng suất của tổ 1 là: $x,\,\,\,(x > 0,$ phần công việc/giờ);

Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$  giờ

nên năng suất của tổ 2 là: $\dfrac{1}{2} - x$ (phần công việc/giờ);

Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{x}$ (giờ);

Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}}$ (giờ);

Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}} - 3 \Leftrightarrow 6{x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\,\left( N \right)\\x =  - \dfrac{1}{2}\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy thời gian tổ$1$ hoàn thành công việc $1$  mình là 3 giờ.

Bước 1:

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là: \(x\) (giờ), \(\left( {x > 5} \right)\).

Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.

Bước 2:

Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.

Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\)(công việc).

Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\)(công việc).

Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc).

Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc).

Bước 3:

Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {ktm} \right)\\x = 15\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là 15-5=10 (giờ).

Gọi thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là \({t_1},{t_2}\)(h)$(t_1,t_2>0)$

Khi đó quãng đường AB là \(30{t_1}\left( {km} \right)\)

Do vận tốc trung bình cả đi và về là 60 km/h nên ta có:

\(60 = \dfrac{{60{t_1}}}{{{t_1} + {t_2}}} \Leftrightarrow 60{t_1} + 60{t_2} = 60{t_1}\)\( \Leftrightarrow {t_2} = 0\)(Vô lí)

Vậy không thể đạt vận tốc trung bình như yêu cầu.

Bước 1: Gọi thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch là \(x\left( {x > 1} \right)\) (ngày).

Bước 2:

Theo kế hoạch, số hàng mỗi đội phải chở là 140 tấn.

Mỗi ngày đội xe phải chở được \(\dfrac{{140}}{x}\) (tấn).

Thực tế, số hàng phải chở là \(140 + 10 = 150\) (tấn).

Số ngày chở là \(x - 1\) (ngày).

Mỗi ngày đội xe chở được \(\dfrac{{150}}{{x - 1}}\) (tấn).

Bước 3:

Vì thực tế mỗi đội chở nhiều hơn kế hoạch 5 tấn nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{150}}{{x - 1}} - \dfrac{{140}}{x} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{150x - 140\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 140}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 5\\ \Rightarrow 10x + 140 = 5{x^2} - 5x\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 15x - 140 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\left( {tm} \right)\\x =  - 4\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 4:

Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày.

Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$  phút nên thời gian về là \(t - \dfrac{1}{3}\) và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : \(25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)\)

Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .

Bước 1:

Gọi số trứng của người thứ nhất là \(x\left( {0 < x < 100,x \in {\mathbb{N}^*},x \ne 50} \right)\)

Bước 2:

Số trứng của người thứ hai là: \(100 - x\).

Gọi \(a\) (đồng), \(b\) (đồng) lần lượt là giá bán mỗi quả trứng của người thứ nhất và của người thứ hai. Theo giả thiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {100 - x} \right)a = 90000\\xb = 40000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{90000}}{{100 - x}}\\b = \dfrac{{40000}}{x}\end{array} \right.\)

Bước 3:

Vì số tiền bán trứng của 2 người bằng nhau nên:

\(\begin{array}{l}xa = \left( {100 - x} \right)b \end{array}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{90000x}}{{100 - x}} = \dfrac{{40000\left( {100 - x} \right)}}{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{9x}}{{100 - x}} = \dfrac{{4\left( {100 - x} \right)}}{x}$

$\Leftrightarrow 9x^2=4.(100-x)^2$

$\Leftrightarrow 9x^2=4.10000-4.2.100x+4x^2$

$ \Rightarrow {x^2} + 160x - 8000 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\left( {tm} \right)\\x =  - 200\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Bước 4:

Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả.

Gọi vận tốc ô tô dự định đi là \(v\) $\left( {km/h} \right)$, $\left( {v > 6} \right)$

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là  \(\dfrac{{30}}{{v + 10}}\left( h \right)\)

Thời gian đi nửa quãng đường sau là \(\dfrac{{30}}{{v - 6}}(h)\)

Thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là \(\dfrac{{60}}{v} (h)\) 

Theo bài ra ta có :  \(\dfrac{{30}}{{v + 10}} + \dfrac{{30}}{{v - 6}} = \dfrac{{60}}{v} \Leftrightarrow \dfrac{{2v + 4}}{{\left( {v + 10} \right)\left( {v - 6} \right)}} = \dfrac{2}{v} \)

\(\Rightarrow 4v - 120 = 0 \Leftrightarrow v = 30\) (thỏa mãn)

Vậy thời gian dự định là $\dfrac{{60}}{{30}} = 2$  giờ.

Bước 1:

Gọi vận tốc của Vật I là \(x\left( {m/s} \right)\left( {x > 0} \right)\).

Gọi vận tốc của Vật II là \(y\left( {m/s} \right)\left( {x > 0} \right)\).

Bước 2:

Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là \(20x,20y\left( m \right)\).

Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20s lại gặp nhau một lần nghĩa là quãng đường vật đi nhanh đi được trong 20s là đúng 1 vòng tròn (\(2\pi \left( m \right)\)) nên ta có phương trình:

\(20x - 20y = 2\pi \)  (1)

Sau 4s hai vật chuyển động được quãng đường là \(4x,4y\left( m \right)\).

Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4s lại gặp nhau do đó ta có phương trình:

\(4x + 4y = 2\pi \)   (2)

Bước 3:

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}20x - 20y = 2\pi \\4x + 4y = 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,3\pi \left( {tm} \right)\\y = 0,2\pi \left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Bước 4:

Vậy vật I  có vận tốc là \(0,3\pi \left( {m/s} \right)\), vật II có vận tốc là \(0,2\pi \left( {m/s} \right)\).

Đổi $7$giờ $30$ phút =$\dfrac{{15}}{2}$(h)

Gọi vận tốc thực của ca nô là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}3$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là:$x + 3\,\left( {km/h} \right)$  

Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: $x{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}\left( {\rm{h}} \right)$

Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: $\dfrac{{54}}{{x - 3}}\left( {\rm{h}} \right)$

Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}$+$\dfrac{{54}}{{x - 3}}$=$\dfrac{{15}}{2}$

Ta có:

$\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow 54(\dfrac{{x - 3 + x + 3}}{{{x^2} - 9}}) = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{5}{{36}}$

$ \Leftrightarrow 72x = 5{x^2} - 45 \Leftrightarrow 5{x^2} - 72x - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy vận tốc thực của ca nô là $15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$