Số phức, các phép toán với số phức

Phần thực của số phức \(z\) là \(a\).

Số phức \(z = \sqrt 2 i - 1 =  - 1 + \sqrt 2 i\) có phần thực là \( - 1\).

Hai số phức \(z = a + bi,z' = a + b'i\) bằng nhau nếu \(b = b'\)

Số phức liên hợp của số phức \(z = a - bi\) là \(\overline z  = a + bi\).

Ta có \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) nên B đúng.

Điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\) nên \(M\left( {a;b} \right)\)

Điểm \(N\) biểu diễn số phức \(z' = a' + b'i\) nên \(N\left( {a';b'} \right)\)

Ta có:

\(z + z' = \left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i\)

\(z - z' = \left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i\)

\(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\)

Vậy C đúng.

Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\) \( \Rightarrow z + \overline z  = 2a;z - \overline z  = 2bi;z.\overline z  = {a^2} + {b^2}\)

Do đó A đúng.

Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Ta có: \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \)

Vậy phần ảo của số phức đó là $ b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}}  =  \pm 5$.

Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$. 

${z_1} + {z_2} = 3 - 2i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {13} $.

Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $

$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$

\(z = \dfrac{{7 - 11i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - 11i)(2 + i)}}{{{2^2} + {1^2}}} = \dfrac{{14 + 11 + 7i - 22i}}{5} = \dfrac{{25 - 15i}}{5} = 5 - 3i \Rightarrow \overline z  = 5 + 3i\)

Vậy phần thực và phần ảo của \(\overline z \) là $5$ và $3$.

\({z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}}  = \sqrt {68}  = 2\sqrt {17} \) 

${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z  = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $

$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$

\(z = a + bi \) \(\Rightarrow {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} \) \(= {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} \) \(= {a^2} - {b^2} + 2abi\)

\(w = \dfrac{1}{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2} + 2abi}} \) $ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}$ \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {2abi} \right)}^2}}} \)

\( = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 4{a^2}{b^2}{i^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}\)

\(= \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{2ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}i\)

Nên phần thực của số phức $w$ là : \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}\).

Ta có: $\overline z  = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 $

Có 2 số thuần ảo, đó là: \({z_1} =  - 2i,\,\,\,{z_3} = 5i\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3x + y + 5xi = 2y - \left( {x - y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2y\\5x =  - \left( {x - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - y = 0\\6x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)