Số phức, các phép toán với số phức

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1}} \right|^2} = {2^2} + 1 = 5\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 15.$

Modun của số phức $z = 3 - 4i$ là: $\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.$

Ta có $\left| w \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right|$

$= {\left| {1 - i} \right|^2}.\left| z \right| = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \right)^2}.\left| z \right|= 2\left| z \right| = 2m$ vì $\left| z \right| = m$.

Ta có: ${z_1}.\overline {{z_1}}  = 4 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 4$.

Vậy $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 4 + {3^2} = 13$.

Ta có ${z_1} = 3i;\,\,{z_2} = m - 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = 3\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{m^2} + 4} \end{array} \right.$

Mà $\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  < 3 \Leftrightarrow {m^2} + 4 < 9 \Leftrightarrow  - \sqrt 5  < m < \sqrt 5 .$

Mặt khác $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}.$

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow w = 3{z_1} - 2{z_2} =  - 1 + 12i$

Khi đó phần ảo của số phức w là 12.

$z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9} = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = 1 + i$

Trong đoạn $\left[ {2;9} \right]$ có

+) 3 số chia hết cho 3: $\left\{ {3;6;9} \right\}$.

+) 2 số chia 3 dư 1: $\left\{ {4;7} \right\}$.

+) 3 số chia 3 dư 2: $\left\{ {2;5;8} \right\}$.

Để $a + b$ chia hết cho 3 thì

+) Cả 2 số a, b khác nhau đều chia hết cho 3 có $A_3^2 = 6$ số phức thỏa mãn.

+) Cả 2 số giống nhau đều chia hết cho 3 có 3 số phức thỏa mãn.

+) 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: Có $C_2^1.C_3^1.2! = 12$ số phức thỏa mãn.

Vậy có tất cả 21 số phức thỏa mãn.

Ta có :

$\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z  + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}$

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a$.

Khi đó phương trình cuối trở thành $\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Mà $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b =  \pm \dfrac{1}{2}$.

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.$ 

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$

Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì

$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2  = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}}  = PA + PB\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$

Do đó $P{C_{\min }}$ khi $P$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$ và $P{C_{\max }}$ khi $P \equiv B$

Suy ra $M = CB = \sqrt {73}$.

Ta có: $AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0$$\Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2  + 2\sqrt {73} }}{2}$

Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$$\Rightarrow \overline z  = a - bi$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2iz + \overline z  = 1 - i\\ \Leftrightarrow 2i\left( {a + bi} \right) + a - bi = 1 - i\\ \Leftrightarrow 2ai - 2b + a - bi = 1 - i\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right) + \left( {2a - b} \right)i = 1 - i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 1\\2a - b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow z =  - 1 - i$.

Vậy phần thực số phức $z$ là $- 1$.

Sử dụng MTCT ta có:

Vì $z = 1 + i$ là 1 nghiệm của phương trình $zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + i} \right)i + a.\left( {i + 1} \right)i + b\left( {i + 1} \right) + a = 0\\ \Leftrightarrow  - 1 + i + a\left( { - 1 + i} \right) + b + bi + a = 0\\ \Leftrightarrow b - 1 + \left( {1 + a + b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\1 + a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy ${b^2} - {a^3} = {1^2} - {\left( { - 2} \right)^3} = 9.$

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{z^2} + 2\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 2\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + \left( {2ab - 2b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\2ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\2b\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2a = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\-{b^2} + 3 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + 2a = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = - 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Rightarrow {z_1} = 1 + \sqrt 3 i,{z_2} = 1 - \sqrt 3 i\\ {z_3} = 0,{z_4} = - 2 \end{array}$

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vì $z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i$ là số thực nên $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.$

Suy ra $z = {m^2} - 3m + 3 = 1.$

Vậy $1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2020$ (có 2020 số 1).

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow  - z =  - a - bi.$

Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}}$ $\Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|$ là mệnh đề đúng.

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.$

Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}}$ $\Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$ là mệnh đề đúng.

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a$

$\Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|$$\Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0$ là mệnh đề sai.

+) Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0$$\Rightarrow \left| z \right| > 0$ là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Ta có $z = \dfrac{1}{{1 + i}}  = \dfrac{{1 - i}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}$$= \dfrac{{1 - i}}{{1 - {i^2}}} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + 1}} = \dfrac{{1 - i}}{2}= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i$

$\Rightarrow \overline z  = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$.

Ta có: ${z^{ - 1}} = 1 + 2i$ $\Rightarrow \dfrac{1}{z} = 1 + 2i$ $\Leftrightarrow z = \dfrac{1}{{1 + 2i}} = \dfrac{{1 - 2i}}{{1 - {{\left( {2i} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{1 - 2i}}{{1 + 4}} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$

$\Rightarrow$ Số phức $z$ có phần ảo là $- \dfrac{2}{5}.$

Số phức nghịch đảo của số phức  $z = 3 + 4i$ là: $\dfrac{1}{{3 + 4i}} = \dfrac{{3 - 4i}}{{{3^2} - {{\left( {4i} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{3 - 4i}}{{9 + 16}} = \dfrac{3}{{25}} - \dfrac{4}{{25}}i.$

$\dfrac{2}{{z - 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z - 1 = \dfrac{2}{{1 + i}} \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i \Leftrightarrow z = 2 - i$