Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Nhận thấy \((P):x - y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right)\) cũng là các véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận \(\vec n = ( - 2,4,1)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\( - 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)

Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\).

Ta có: $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên \(\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận \(\overrightarrow {AB} \)  làm vectơ pháp tuyến.

Có $I\left( {3, - 2,0} \right)$ và \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2, - 2, - 4)\). Chọn \(\vec n = (1,1,2)\) là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

\((x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0\)

Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  qua $B\left( {1,0,1} \right)$ và nhận \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\)  là vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (0,3, - 1)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (1,6, - 2)\). Suy ra  \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)\)

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\) 

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {4;22; - 14} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {2;11; - 7} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,2, - 3)\)  và \(\overrightarrow {{n_R}}  = (2, - 3,1)\). Suy ra \(\vec n = ( - 7, - 7, - 7)\). Chọn \(\vec n' = (1,1,1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $\left( P \right)$ là

\((x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\)

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Nhận xét $\left( P \right)$  và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\) 

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Vì $\left( P \right)$  song song với $\left( Q \right)$  nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$  với \(c \ne  - 2\) .

Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow |2 + c| = 6\).

 Suy ra $c = 4$ hoặc $c =  - 8$.

Yêu cầu bài toán tương đương với \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{{ - 4}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0 \Leftrightarrow 2.x + 0.y + \left( { - 1} \right).z + 1 = 0\) nên \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\left( {2;0; - 1} \right)\)

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow  - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Hai mặt phẳng song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d \ne k.d'\).

Trong trường hợp \(a'b'c' \ne 0\) thì \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\).

$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.\)

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$  nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c =  - 45}&{}\end{array}} \right.\)

 Suy ra $S =  - 12$.

Hai mặt phẳng trùng nhau nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d = k.d'\) \((k \ne 0)\)  .

Trường hợp \(a'b'c'd' \ne 0\) thì \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}} = k \Rightarrow a = ka';b = kb';c = kc';d = kd'\).

Do đó các đáp án A, B, D đúng và C sai.