Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Nhận thấy $(P):x - y + 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ $\overrightarrow a  = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right)$ cũng là các véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận $\vec n = ( - 2,4,1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$- 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0$

Nếu $\overrightarrow n$ là một VTPT của $\left( P \right)$ thì $k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là VTPT của $\left( P \right)$.

Ta có: $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên $\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$  làm vectơ pháp tuyến.

Có $I\left( {3, - 2,0} \right)$ và $\overrightarrow {AB}  = ( - 2, - 2, - 4)$. Chọn $\vec n = (1,1,2)$ là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

$(x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0$

Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ là cặp VTCP của $\left( P \right)$ thì $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  qua $B\left( {1,0,1} \right)$ và nhận $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$  là vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = (0,3, - 1)$ và $\overrightarrow {AC}  = (1,6, - 2)$. Suy ra  $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)$

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ 

Ta có: $\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)$

Do đó $\overrightarrow n  = \left( {4;22; - 14} \right)$ là một VTPT của $\left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {2;11; - 7} \right)$ cũng là một VTPT của $\left( P \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,2, - 3)$  và $\overrightarrow {{n_R}}  = (2, - 3,1)$. Suy ra $\vec n = ( - 7, - 7, - 7)$. Chọn $\vec n' = (1,1,1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $\left( P \right)$ là

$(x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTPT thì $\left( P \right)$ có phương trình:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Nhận xét $\left( P \right)$  và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

$d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3$ 

Mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ có một VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$.

Vì $\left( P \right)$  song song với $\left( Q \right)$  nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$  với $c \ne  - 2$ .

Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có

$d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow |2 + c| = 6$.

 Suy ra $c = 4$ hoặc $c =  - 8$.

Yêu cầu bài toán tương đương với $\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{{ - 4}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}$

Mặt phẳng $\left( P \right):2x - z + 1 = 0 \Leftrightarrow 2.x + 0.y + \left( { - 1} \right).z + 1 = 0$ nên $\left( P \right)$ có một VTPT là $\left( {2;0; - 1} \right)$

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  = 0$

$\Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow  - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3$

Hai mặt phẳng song song nếu $\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'}$ và $d \ne k.d'$.

Trong trường hợp $a'b'c' \ne 0$ thì $\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}$.

$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.$

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$  nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c =  - 45}&{}\end{array}} \right.$

 Suy ra $S =  - 12$.

Hai mặt phẳng trùng nhau nếu $\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'}$ và $d = k.d'$ $(k \ne 0)$  .

Trường hợp $a'b'c'd' \ne 0$ thì $\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}} = k \Rightarrow a = ka';b = kb';c = kc';d = kd'$.

Do đó các đáp án A, B, D đúng và C sai.