Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

$d \equiv d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đôi một cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( { - 1;0;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 1; - 2} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {1;2;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3;1;2} \right)$.

Ta có $\dfrac{3}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 1}}{1} = \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} \parallel \overrightarrow {{u_2}}$.   $\left( 1 \right)$

$\dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 3}} \ne \dfrac{{0 - 2}}{1} \ne \dfrac{{1 - 3}}{2}$ nên ${M_1} \notin {d_2}$.    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ song song.

$d$ cắt $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ không cùng phương và $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  = 0\end{array} \right.$

Ta có: $d$ chéo $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$  không đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  \ne 0$.

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( {3;2;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {0;2;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;0;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 3;0;1} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 6 + 0 - 2 =  - 8 \ne 0$.

Do đó ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP ${\overrightarrow u _{_1}} = \left( {3;1;5} \right)$, đường thẳng $d$ có VTCP ${\overrightarrow u _{_d}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Vì ${\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow u _{_1}} = 3.2 - 1.1 - 5.1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d'$ được tính theo công thức $d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)$. Khi đó:

$\overrightarrow {MA}  = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)$

Vậy $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$ 

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$

Do đó $OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}$

Gọi $M\left( {1 + t;0;t - 5} \right) \in {d_1}$, $N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in {d_2}$.

Suy ra $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t;4 - 2t';10 + 3t' - t} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow a  = \left( {1;0;1} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow b  = \left( {0; - 2;3} \right)$.

Để $MN$ là đoạn vuông góc chung thì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow b  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\,\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right.$.

Phương trình đường vuông góc chung là $MN:\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng: $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( {2; - 1;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1;0} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {1;1;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1; - 1} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 1;2;2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;2} \right)$

Vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3$

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Gọi $B = \Delta  \cap {d_2}$ suy ra $B \in {d_2}$ nên $B\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( { - t;2t - 1;t - 4} \right)$.

Theo giả thiết, ta có $\Delta  \bot {d_1}$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - t} \right) - 1\left( {2t - 1} \right) + \left( {t - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow B\left( {2; - 1; - 2} \right)$.

Khi đó $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và $B\left( {2; - 1; - 2} \right)$ nên $\vartriangle :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}$.

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$: $\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$ ta có:

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = x - 0\\0 - 0 = y - 1\\0 - 0 = z - 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)$

Lại có

$\begin{array}{l}M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C}  = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'}  = \left( { - \dfrac{1}{2};0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)\end{array}$

Vậy $d\left( {MN,A'C} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$ 

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 2} \right)$, $\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;m - 2;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)$.

Do đó $d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.$.

A: $\dfrac{{4 - 1}}{3} = \dfrac{{0 + 2}}{2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow N \in d$

B:$\dfrac{{1 - 1}}{3} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0 \Rightarrow M \in d$

C: $\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{1 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow P \notin d$ và $\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow P \notin d'$

D: $\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow Q \notin d$ và $\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{{3 + 1}}{2} \Rightarrow Q \in d'$

Gọi $M = d \cap d';$ do $M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 2 + 3t;6 + 4t} \right)$

$M \in d' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = 5 + t'\\ - 2 + 3t =  - 1 - 4t'\\6 + 4t = 20 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = -2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;7;18} \right)$

Gọi $M'$ là hình chiếu của $M$ trên  $d$.

$d$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_d} = (2;1;2)$.

$M'(3 + 2t; - 1 + t;1 + 2t) \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = (2 + 2t; - 3 + t;4 + 2t)$

Tacó$MM' \bot d$ nên

$\overrightarrow {MM'} .{\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow (2 + 2t).2 + ( - 3 + t).1 + (4 + 2t).2 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1$

$\Rightarrow M'(1; - 2; - 1)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} ( - 3;1; - 2);\overrightarrow {{u_{d'}}} (6; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 2\overrightarrow {{u_d}} \\A(2; - 2; - 1) \in d; \notin d'\\ \Rightarrow d//d'\end{array}$