Phương trình đường thẳng
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có một VTCP là:
Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có một VTCP là \(\left( {a;b;c} \right)\).
Đường thẳng đi qua điểm \(\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\) và có VTCP \(\left( { - a; - b; - c} \right)\) có phương trình:
Đường thẳng đi qua điểm \(\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\) và có VTCP \(\left( { - a; - b; - c} \right)\) có phương trình:
\(\dfrac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \dfrac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \dfrac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + {x_0}}}{a} = \dfrac{{y + {y_0}}}{b} = \dfrac{{z + {z_0}}}{c}\)
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng \(d\)?
Vì \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 - t\\y = 1 - t\\z = 0 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên \(d\) đi qua điểm \(\left( {0;1;0} \right)\).
Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của \(d\) nên chỉ có đáp án D đúng.
Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)?
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:
\(\dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{1}\) nên A sai.
\(\dfrac{{1 + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{1}\) nên B đúng.
Thay tọa độ các điểm đáp án \(C,D\) vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.
Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và các điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1; - 1;1} \right),C\left( {2;\dfrac{1}{2};0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d\\\dfrac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d\\\dfrac{{2 - 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C \in d\end{array}\)
Do đó cả hai điểm \(A\) và \(C\) đều thuộc \(d\).
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và nhận \(\vec u = (a,b,c)\), \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) làm một vecto chỉ phương. Hãy chọn khẳng định sai trong bốn khẳng định sau?
Phương trình chính tắc của (d) đi qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và nhận \(\vec u = (a,b,c)\) làm vecto chỉ phương là \((d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\). Do đó D là đáp án sai.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của \(d\)?
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right)\)
Trong không gian $Oxyz$, tìm phương trình tham số trục $Oz$?
Phương trình trục \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?
Phương trình trục \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục \(Oy\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\)
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) là:
\(\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) đi qua \(M\left( {4; - 3;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm VTCP nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 3 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương \(\vec a = (4, - 6,2)\). Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Ta có \(\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\) nên chọn \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vecto chỉ phương của \(d\).
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1,2, - 3} \right)$ và $B\left( {3, - 1,1} \right)$?
Phương trình đường thẳng $AB$ nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\) là vectơ chỉ phương. Loại B, C.
Phương trình qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên có dạng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}\).
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $OAB$ với \(A\left( {1;1;2} \right),\;B\left( {3; - 3;0} \right)\). Phương trình đường trung tuyến $OI$ của tam giác $OAB$ là
Ta có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra $I\left( {2, - 1,1} \right)$.
Ta có \(OI\) nhận \(\overrightarrow {OI} = \left( {2; - 1;1} \right)\) là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $O\left( {0,0,0} \right)$ nên \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\).
Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( {0,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2,3,1} \right)$ và $C\left( {4, - 3,1} \right)$. Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo $BD$.
Gọi \(I\) là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra \(I\) là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.
Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.
+ Phương trình $BI$ nhận \(\overrightarrow {BI} = (4, - 4,0)\) là vectơ chỉ phương
+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.
Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là \((1,1,0)\), đây không là vecto chỉ phương của $BI$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ và đường thẳng \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{1}\) . Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và song song \(d'\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng \(d\)?
Phương trình đường thẳng \(d\) có vecto chỉ phương là \(\vec u = (3,1,1)\) và đi qua điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)
+ Phương án A đúng.
+ Với $t = - 1$ ta có $B\left( { - 1,0,2} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó B đúng.
+ Với $t = 1$, ta có $C\left( {5,2,4} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó C đúng.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A(1;2; - 3)$ và song song với trục $Oz$ là:
Vì $d//Oz$ nên ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \vec k = (0,0,1)\). Vì \(d\) qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = - 3 + t\end{array} \right.\)(*)
Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:
+ A,B, D sai vecto chỉ phương.
+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \). Kiểm tra điểm $B\left( {1,2,3} \right)$ thuộc (*) nên C đúng.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1,2,3} \right)$ và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) là:
Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = (2,1, - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (3,2,2)\)
Vì $d$ vuông góc với \({d_1}\) và \({d_2}\) nên có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)\)
Vì $d$ qua $A\left( {1,2,3} \right)$ nên có phương trình \(d:\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 7}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,0,0} \right),B\left( {0,3,0} \right),C\left( {0,0, - 4} \right)$. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác $ABC$. Tìm phương trình tham số của đường thẳng $OH$ trong các phương án sau:
\(H\) là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$
Ta giả sử $H\left( {x,y,z} \right)$, ta có
\(\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\)
\(\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\)
\(\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\)
\(\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\)
\(\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\).
Điều kiện \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\)
Điều kiện \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\)
Ta tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\).
Điều kiện \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\)
Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(H(\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\)
Suy ra \(\overrightarrow {OH} = (\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\) là vecto chỉ phương của $OH$.
Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\) là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left( {0,0,0} \right)$ nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z = - 3t}&{}\end{array}} \right.\)
