Lũy thừa và tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương nên $a > 0$.

Ta có: $P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

- Vì $n \in {N^*}$ nên ${a^n},{b^n}$ đều có nghĩa (A, B đúng).

- Vì $\alpha  \notin Z,a > 0$ nên ${a^\alpha }$ có nghĩa (C đúng).

- Vì $\alpha  \notin Z,b < 0$ nên ${b^\alpha }$ không có nghĩa (D sai).

$P = \dfrac{{\sqrt[5]{4}.\sqrt[4]{{64}}.{{(\sqrt[3]{{\sqrt 2 }})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt[3]{{32}}}}}} = \dfrac{{{2^{\frac{2}{5}}}{{.2}^{\frac{6}{4}}}{{.2}^{\frac{4}{6}}}}}{{{2^{\frac{5}{9}}}}} = {2^{\frac{2}{5} + \frac{6}{4} + \frac{4}{6} - \frac{5}{9}}} = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}$

Vậy \(P = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}.\)

Ta có: ${\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{xy}}$ nên A sai.

$\dfrac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{x - y}}$ nên B sai.

${2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}$ nên C đúng.

${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{{{2^x}}}{{{3^x}}}$ nên D sai.

Ta có : $P = \dfrac{{{{125}^6}.{{\left( { - 16} \right)}^3}2.\left( { - {2^3}} \right)}}{{{{25}^3}.{{\left( { - {5^2}} \right)}^4}}} = \dfrac{{{5^{18}}{2^{12}}{{.2.2}^3}}}{{{5^6}{{.5}^{2.4}}}} = {5^4}{.2^{16}}$

Vậy $P = {5^4}{.2^{16}}$.

${2^{\sqrt x }} \ne {x^{\sqrt 2 }}$ nên A sai.

${3^{\sqrt {xy} }} = {3^{\sqrt x .\sqrt y }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}$ nên B đúng.

$\dfrac{{{3^{\sqrt[3]{x}}}}}{{{3^{\sqrt[3]{y}}}}} = {3^{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}} \ne {3^{\sqrt[3]{{x - y}}}}$ nên C sai.

${x^{\sqrt 3 }} \ne {y^{\sqrt 3 }}$ nếu $x \ne y$  nên D sai.

\({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {16^{0,75}} + {8^{\frac{4}{3}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} + {\left( {{2^3}} \right)^{\frac{4}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\\ = {3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{5^{2 + 2\sqrt 2 }}\\ = {3^2}\\ = 9\end{array}\)

$A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2  + 1}} = {a^{\sqrt 2  - \sqrt 2  + 1}} = a$

${a^{\sqrt 2 }}.{a^\pi }:\sqrt[3]{{{a^{3\sqrt 2 }}}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^\pi }:{a^{\sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2  + \pi  - \sqrt 2 }} = {a^\pi }$ nên A đúng.

Ta có: $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 $

$= \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$

$A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\dfrac{1}{e}}}ab} \right)}^e}}  = \sqrt {{a^{2e}} + 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}} - 4{a^e}{b^e}}  $

$= \sqrt {{a^{2e}} - 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}}}  = \sqrt {{{\left( {{a^e} - {b^e}} \right)}^2}}  = \left| {{a^e} - {b^e}} \right|$

Với $a = e;b = 2e$ thì $A = \left| {{a^e} - {b^e}} \right| = \left| {{e^e} - {{\left( {2e} \right)}^e}} \right| = \left( {{2^e} - 1} \right){e^e}$

Với $a > 1$ và $x > y$ thì ${a^x} > {a^y}$.

Đáp án A: Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ và $\sqrt 3  > \sqrt 2 $ nên ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (A sai).

Đáp án B: Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ và $\sqrt 3  < \sqrt 5 $ nên ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 5 }}$ (B đúng).

Đáp án C: Vì $ - \sqrt 3  < 0$ và $\dfrac{4}{3} > \dfrac{1}{3}$ nên ${\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }}$(C sai)

Đáp án D: Vì $\sqrt 3  > 0$ và $\dfrac{4}{3} > \dfrac{1}{3}$ nên ${\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}$ (D sai)

Đáp án A: Vì $2 > 1$ và $1,7 > 0,6$ nên ${2^{1,7}} > {2^{0,6}}$ (A đúng)

Đáp án B: Vì $0 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ và $1,2 < \sqrt 2 $ nên ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{1,2}} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (B đúng)

Đáp án C: Vì ${2^{ - \sqrt {12} }} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\sqrt {12} }};0 < \dfrac{1}{2} < 1$ và $\sqrt {12}  > 2,5$ nên ${2^{ - \sqrt {12} }} < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2,5}}$ (C đúng)

Đáp án D: Vì $0 < 0,7 < 1$ và $\dfrac{{\sqrt 5 }}{6} > \dfrac{1}{3}$ nên $0,{7^{\frac{{\sqrt 5 }}{6}}} < 0,{7^{\frac{1}{3}}}$ (D sai)

\({\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2} \Leftrightarrow {a^{0,2}} < {a^2}\)

Do \(0,2 < 2\) và có số mũ không nguyên nên ${a^{0,2}} < {a^2}$ khi $a > 1$.

Ta có: $ - x + \sqrt x  =  - \left( {x - \sqrt x } \right) =  - \left( {x - \sqrt x  + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{4} $

\( = - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\)

Suy ra $A = {3^{ - x + \sqrt x }} \le {3^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{3}$.

Vậy $A \le \sqrt[4]{3}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ ta có:

$A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} $

$\ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}}  = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}}  = 2\sqrt {{5^{ - 1}}}  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$

Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$