Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha )\) nên ta có \(R = d(I,\alpha )\).

Suy ra \(R = d(I,\alpha ) = \dfrac{{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{6}{3} = 2\)

Ta có \(\overrightarrow {AI}  = \left( {1;1; - 3} \right)\).

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$.

$ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {{n_P}} $.

Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng \(x + y - 3z + d = 0\)(*).

Mặt khác, vì \(A \in (P)\)  nên ta có \(2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3\)

Vậy ta có \((P): x + y - 3z + 3 = 0\)

$(S)$ có tâm $I(1; - 1; - 2);R = 2$

Vì $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vtcp tương ứng là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;1; - 1} \right)\)  ta có $\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)$

Gọi $(P):y + z + d = 0$

$\begin{array}{l}d(I;P) = \dfrac{{\left| { - 1 - 2 + d} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 2\sqrt 2 \\d - 3 =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3 + 2\sqrt 2 \\d = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z + 3 + 2\sqrt 2  = 0\\y + z + 3 - 2\sqrt 2  = 0\end{array} \right.\end{array}$

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$. Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng \((\alpha),\left( \beta  \right),\left( \gamma  \right)\) nên ta có   ${\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \beta  \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \gamma  \right)} \right) = R$

Suy ra $\left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| = R$

Do điểm $A\left( {2; - 2;5} \right)$ thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y <  - 1;z > 1$ nên $I\left( {a;b;c} \right)$ cũng thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y <  - 1;z > 1$

Khi đó $I\left( {R + 1; - 1 - R;R + 1} \right)$. Mặt khác $IA = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3$

Gọi mặt cầu tâm $I(2;-1;4)$.

Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu $(S)$ (tâm $I$, bán kính $R$) tại điểm $M$ chính là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với bán kính $IM $ tại tiếp điểm $M$

Mặt phẳng qua $M(5;0;4)$ vuông góc với $IM $ ($\overrightarrow {IM}  = (3;1;0)$) có phương trình:

\((Q): 3\left( {x - 5} \right) + {\text{ }}y\; = 0 \Leftrightarrow 3x + y-15 = 0\)

Có: ${\overrightarrow n _P}( - 2;1;\sqrt 5 );{\overrightarrow n _Q}(3;1;0)$

Nên ta có: 

\(\cos \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = \left| {\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)}} \right| = \dfrac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = {60^0}\)

$(S)$ có tâm $I(1;1;1)$ và bán kính $R=8$.

Tâm đường tròn giao tuyến $(C)$ là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ trên $(P)$.

Đường thẳng $\Delta $ qua $I$ và vuông góc với  $(P)$ có phương trình là $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}$ .

Do $H∈∆$ nên $H(2t+1;2t+1;t+1)$

Ta có $H∈(P)$ nên:

$2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0 \Leftrightarrow 9t+15=0 \Leftrightarrow t= - \dfrac{5}{3}$

$ \Rightarrow $ $H( \dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 2}}{3})$.

Phương trình mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ nên ta loại được đáp án A.

Véc tơ pháp tuyến của \(\left( {Oyz} \right):\overrightarrow n  = (1;0;0)\)

Tọa độ của mặt cầu $(S)$ là $I\left( { - 1;1; - 2} \right)$

Gọi điểm $O$ là điểm cần tìm có $O\left( {0;b;c} \right)$

Do $IO$ vuông góc với $(Oyz)$ nên \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương với \(\overrightarrow n  = (1;0;0)\)

Suy ra $b = 1;c =  - 2$ 

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$  được tính theo công thức $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ .

Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\)

\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\) \( \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\
\Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0\\
\Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b
\end{array}\)

\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \)

\(\min R = 2\sqrt 2 \) khi $b = 0$

Gọi $E $ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có \(IH = d\left( {I,(\alpha)} \right);\,R = IE;\,r=HE\)

\(IH = \sqrt {1 + {3^2} + {(-2)^2}}  = \sqrt {14} \)

Tam giác $IHE$ vuông tại $H$ nên \(IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {14 + 4}  = \sqrt {18} \)

Suy ra phương trình mặt cầu $(S)$ là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).

Vì mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 4)\) tiếp xúc với $mp\left( {Oxz} \right)$ nên $r = 2$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là : \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\).

Mặt cầu $\left( S \right)$  có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ bán kính $R = 5$.

Để mặt cầu với mặt phẳng không có điểm chung thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.

Ta có

$\begin{array}{l}d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) > 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2 - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} > 5\\ \Leftrightarrow \left| {m - 6} \right| > 15 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 > 15}\\{m - 6 <  - 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 21}\\{m <  - 9}\end{array}} \right.\end{array}$

Gọi $O$ là tâm của đường tròn thiết diện, $E$ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: $IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE$

\(IO = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\)

\(S = 3\pi  = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\)

Tam giác $IOE$ vuông tại $O$ nên \({R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\)

Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)

\(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\) nếu và chỉ nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và $\overrightarrow {IA} \bot \left( P \right)$.

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = ( - 1; - 1;3)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mà $\left( P \right)$  lại đi qua $A\left( {2;1;2} \right)$ nên:

\(\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z + 3 = 0\)

$(S)$ có tâm $I(–1;2;1)$ và $R = 1$.

Gọi $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u \left( {1;0;1} \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến $(S)$ thành $(S’)$ tiếp xúc với $(P)$

Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$ biến $I$ thành $I’ (–1 + t; 2; 1 + t)$

Suy ra $(S’)$ có tâm $I’$ và bán kính $R’ = R = 1$.

$(S’)$ tiếp xúc $(P)$ $ ⇔ d(I; (P)) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 1\end{array} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 $

Với $t = 1 ⇒ \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 $

Vậy giá trị lớn nhất của $MN $ là $3\sqrt 2 $

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha  \right)$  là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$  tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha  \right)$  đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha  \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Giả sử $M(a;b;c)$ là điểm cần tìm.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ bán kính $R=3 $.
Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $mp(P)$.

\( \Rightarrow \)\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)
Đường thẳng $Δ$ cắt mặt cầu tại 2 điểm $A, B$. Toạ độ $A, B$ là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;0;4} \right)\\B\left( { - 1;4;2} \right)\;\end{array} \right.\)

Ta có:  $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 - 2.0 + 4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \dfrac{{13}}{3}$ và  $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.( - 1) - 2.4 + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \dfrac{5}{3}$

Do đó điểm cần tìm là điểm $A≡M \Rightarrow a+b+c= 3+0+4= 7$.

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

                                                      $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ =  > d(B,(P))\max  = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19}  \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}}  = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

      $\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow  - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4z + 9 - {m^2} = 0\) có tâm \(I\left( { - 3;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 4} \)

Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình là \(x = 0 \Rightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{1} = 3\)

\( \Rightarrow R = \sqrt {{m^2} + 4}  = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5 \)

Tích các giá trị của m là \(\sqrt 5 .\left( { - \sqrt 5 } \right) =  - 5\).