Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Vì $I \in \Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ nên ta gọi $I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)$.

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0$ tại điểm $H\left( {1; - 1;0} \right)$ nên ta có: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5} \\ \Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30\\ \Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}$

$\Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)$ và $R = IH = \sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)$.

Vì $\left( \alpha  \right) \bot \Delta$ nên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)$. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có dạng $3x - 2y - z + d = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0$ có tâm $I\left( {4; - 1; - 1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3}  = \sqrt {21}$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$, $d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$, do đó để $r$ đạt GTLN thì $d$ phải đạt GTNN (vì $R = \sqrt {21}$ không đổi).

Ta có: $d = \dfrac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0$, suy ra ${d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d =  - 15$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cần tìm là: $3x - 2y - z - 15 = 0$.