Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119 . Tìm số lớn hơn.
Gọi số thứ nhất là a;a∈N ; số thứ hai là b;b∈N.
Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 nên ta có
2a−3b=9⇒b=2a−93
Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 119 nên ta có phương trình: a2−(2a−93)2=119⇔9a2−(2a−9)2=1071⇔5a2+36a−1152=0
Δ′=6084⇒[a=−18+√60845a=−18−√60845⇔[a=12(N)a=−965(L)
Với a=12⇒b=5
Vậy số lớn hơn là 12 .
Bạn An chọn một số nguyên, nhân số đó với 4 rồi trừ đi 30. Lấy kết quả nhận được nhân với 2 và cuối cùng trừ đi 10 thì được một số có hai chữ số. Số lớn nhất An có thể chọn có hàng đơn vị bằng.
TH1: với 10≤(4x−30).2−10≤99,x∈Z.
⇔10≤x≤1698,x∈Z⇔10≤x≤21
TH2: với −99≤(4x−30).2−10≤−10
⇔−3,625≤x≤7,5⇔−3≤x≤7
Vậy số lớn nhất của x là 21.
Vậy hàng đơn vị của số cần tìm là 1.
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm số bé hơn.
Gọi số bé hơn là a;a∈N∗ thì số lớn hơn là a+1
Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình
a(a+1)−(a+a+1)=109⇔a2−a−110=0⇔(a−11)(a+10)=0⇔[a=11(N)a=−10(L)
Vậy số bé hơn là 11.
Mẫu đề ĐGNL 2018
Trong một buổi dạ hội, mỗi người nam khiêu vũ với đúng 4 người nữ và mỗi người nữ khiêu vũ với đúng 3 người nam. Biết rằng có 35 người tham dự dạ hội, hỏi có bao nhiêu người nữ?
Bước 1:
Gọi số người nữ là x(x∈N∗,x<35).
Bước 2:
Số người nam là 35−x.
Số lượt khiêu vũ của tất cả nữ là 3x.
Số lượt khiêu vũ của tất cả nam là 4.(35−x)
Bước 3:
Vì mỗi người nam khiêu vũ với đúng 4 người nữ và mỗi người nữ khiêu vũ với đúng 3 người nam nên ta có số lượt khiêu vũ của tất cả nam bằng số lượt khiêu vũ của tất cả nữ.
Ta được phương trình 4.(35−x)=3x
Bước 4:
⇔x=20(TM).
Vậy số người nữ là 20 người.
Một tam giác có chu vi bằng 8 (đơn vị) và độ dài các cạnh là các số nguyên. Diện tích của tam giác là
Bước 1:
Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c(a,b,c∈N∗).
Bước 2:
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
2a<a+b+c=8⇒a<4⇔a≤3
Lập luận tương tự ta có: b≤3,c≤3.
Vì a≤3,b≤3⇒a+b≤6.
Ta lại có:
a+b+c=8⇒c=8−(a+b)⇒c≥8−6=2
Lập luận tương tự ta có: a≥2,b≥2.
=> {a,b,c∈N2≤a,b,c≤3a+b+c=8
Bước 3:
Khi đó cả 3 số không đồng thời bằng 2 được và cũng không thể đồng thời bằng 3 được.
=> Có ít nhất 1 số bằng 3, giả sử là a.
Để tổng chẵn thì một số khác cũng phải bằng 3, giả sử là b.
Vậy số cuối cùng c=2.
Bước 4:
Theo công thức Hê – rông ta có diện tích của tam giác là:
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√4.1.1.2=2√2
với p=a+b+c2=4.
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn bòi thứ hai 4 giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa hai vòi lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau 24 giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu đầy bể nước?
Bước 1:
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ) (x>0).
Bước 2:
=> Thời gian mà vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là x+4 (giờ).
Bước 3: Trong một giờ:
- Vòi thứ nhất chảy được 1x (bể).
- Vòi thứ hai chảy được 1x+4 (bể).
- Vòi thứ ba chảy được 16 (bể).
Bước 4:
Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước trong bể chảy ra, và sau 24 giờ bể lại đầy nước nên ta có phương trình:
1x+1x+4−16=124
Bước 5:
⇔2x+4x(x+4)=524⇔48x+96=5x2+20x⇔5x2−28x−96=0⇔[x=8(tm)x=−125(ktm)
Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau 8 giờ bể sẽ đầy nước.
Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán được 12 số cam và 12 quả. Lần thứ hai bán 14 số cam còn lại và 14 quả. Lần thứ ba bán được 13 số cam còn lại và 13 quả. Cuối cùng còn lại 20 quả. Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán là bao nhiêu quả?
Bước 1:
Gọi số quả cam bác nông dân mang đi bán là x (quả), (x>20,x∈N).
Bước 2:
Lần thứ nhất, bác đã bán số quả cam là 12x+12 (quả).
Số quả cam còn lại là x−(12x+12)=12x−12 (quả).
Lần thứ 2, bác bán được 14.(12x−12)+14=18x+18 (quả).
Số cam còn lại là: 12x−12−(18x+18)=38x−58 (quả).
Lần 3, bác bán được 13.(38x−58)+13=18x+18 (quả).
Số cam còn lại là 38x−58−18x−18=14x−34 (quả).
Bước 3:
Do số cam còn lại là 10 nên ta có phương trình 14x−34=20⇔x=83 (TM).
Vậy bác nông dân mang 83 quả cam đi bán.
Lúc 6 giờ, một ô tô đi từ A đến B. lúc 6 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24 km/h. Ô tô đến B được 1 giờ 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km.
Bước 1:
Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h),x>0.
Bước 2:
Vận tốc của ô tô là x+24(km/h)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường là 120x(h)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường là 120x+24(h)
Đổi 30 phút = 12(h), 1 giờ 20 phút = 43(h).
Thời gian xe máy đi nhiều hơn thời gian ô tô đi là:
43−12=56
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình:
120x−120x+24=56⇔x2+24x−3456=0⇔[x=−72(ktm)x=48(tm)
Bước 4:
Vậy vận tốc của xe máy là 48 km/h, vận tốc của ô tô là 72 km/h.
Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Gọi x là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. (x∈N∗,x<84)
Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: x+2
Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch:84x(h)
Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế:84x+2(h)
Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định 1h nên ta có phương trình: 84x−84x+2=1
⇔84(x+2)−84x=x(x+2)⇔x2+2x−126=0
⇔x=12(nhận) hoặc x=−14(loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm 12 sản phẩm.
Trên bảng ghi một số số tự nhiên liên tiếp. Đúng 52% trong chúng là số chẵn. Hỏi có bao nhiêu số lẻ được ghi trên bảng?
Bước 1:
Từ giả thiết bài toán ta có 52% trong số các số được ghi là số chẵn nên ta có số chẵn nhiều hơn số lẻ.
Như vậy dãy số được ghi bắt đầu là số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn.
Bước 2:
Gọi số các số chẵn được ghi là x số (x>1,x∈N∗), thì số các số lẻ được ghi là x−1 số.
Bước 3:
Khi đó ta có phương trình:
xx−1=52100−52⇔xx−1=5248⇔48x=52x−52⇔x=13(tm)
Bước 4:
Vậy có 13−1=12 số lẻ được ghi trên bảng.
Một cây bèo trôi theo dòng nước và một người bơi ngược dòng nước cùng xuất phát vào một thời điểm tại một mố cầu. Người bơi ngược dòng nước được 20 phút thì quay lại bơi xuôi dòng và gặp cây bèo cách mố cầu 4km. Bằng lập luận hãy tính vận tốc dòng nước biết rằng vận tốc bơi của người không thay đổi.
Bước 1: Vận tốc của dòng nước chính là là vận tốc của cây bèo.
Bước 2:
Gọi vận tốc bơi của người là x(km/h),(x>0).
Đổi 20 phút = 13(h).
Bước 3:
Nếu vận tốc dòng nước bằng 0 thì câu bèo đừng yên cạnh mố cầu, còn người bơi 20 phút được quãng đường là S=13x(km).
Vậy sau 20 phút khoảng cách giữa người và bèo là S=x3(km).
Nhưng dòng nước chảy nên cây bèo trôi theo vận tốc dòng nước và người ngoài quãng đường bơi được thì cũng bị trôi đúng như cây bèo.
Do vậy, sau 20 phút khoảng cách giữa người và cây bèo cũng là S.
Bước 4:
Để khắc phục khoảng cách đó, khi bơi theo hướng ngược lại (xuôi theo dòng nước) người bơi lại cần thời gian cũng là 20 phút.
Vậy thời gian từ lúc xuất phát tới lúc gặp lại cây bèo là
20.2=40 phút =23(h).
Thời gian này cây bèo trôi được 4(km).
Vậy vận tốc dòng nước là 4:23=6(km/h)
Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình, tổ 1 phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là 3 giờ.
Gọi năng suất của tổ 1 là: x,(x>0, phần công việc/giờ);
Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ
nên năng suất của tổ 2 là: 12−x (phần công việc/giờ);
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: 1x (giờ);
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: 112−x (giờ);
Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là 3 giờ nên ta có phương trình:
1x=112−x−3⇔6x2+x−1=0⇔[x=13(N)x=−12(L)
Vậy thời gian tổ1 hoàn thành công việc 1 mình là 3 giờ.
Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được 23 công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Bước 1:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là: x (giờ), (x>5).
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Bước 2:
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: x−5 giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: 1x(công việc).
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: 1x−5(công việc).
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được 4x (công việc).
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được 4x−5 (công việc).
Bước 3:
Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được 23 công việc nên ta có phương trình:
4x+4x−5=23⇔2x−5x(x−5)=16⇒6(2x−5)=x(x−5)⇔x2−17x+30=0⇔[x=2(ktm)x=15(tm)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là 15-5=10 (giờ).
Một đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h và ngay lập tức quay trở về A. Hỏi khi trở về người đó đi với vận tốc bao nhiêu để vận tốc trung bình cho cả cuộc hành trình (đi từ A đến B rồi từ B trở về A) là 60km/h?
Gọi thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là t1,t2(h)(t1,t2>0)
Khi đó quãng đường AB là 30t1(km)
Do vận tốc trung bình cả đi và về là 60 km/h nên ta có:
60=60t1t1+t2⇔60t1+60t2=60t1⇔t2=0(Vô lí)
Vậy không thể đạt vận tốc trung bình như yêu cầu.
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày qui định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian qui định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bước 1: Gọi thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch là x(x>1) (ngày).
Bước 2:
Theo kế hoạch, số hàng mỗi đội phải chở là 140 tấn.
Mỗi ngày đội xe phải chở được 140x (tấn).
Thực tế, số hàng phải chở là 140+10=150 (tấn).
Số ngày chở là x−1 (ngày).
Mỗi ngày đội xe chở được 150x−1 (tấn).
Bước 3:
Vì thực tế mỗi đội chở nhiều hơn kế hoạch 5 tấn nên ta có phương trình:
150x−1−140x=5⇔150x−140(x−1)x(x−1)=5⇔10x+140x(x−1)=5⇒10x+140=5x2−5x⇔5x2−15x−140=0⇔x2−3x−28=0⇔[x=7(tm)x=−4(ktm)
Bước 4:
Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày.
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.
Gọi thời gian người đó đi từ A đến B là t giờ. (t>13)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút nên thời gian về là t−13 và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : 25t=30.(t−13)⇔t=2(TM)
Vậy quãng đường AB là 50km .
Hai bác nông dân đem trứng ra chợ bán với tổng số trứng của hai người là 100 quả. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một số tiền bằng nhau. Một người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 90.000 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được 40.000 đồng thôi”. Hỏi số trứng của người thứ nhất là bao nhiêu?
Bước 1:
Gọi số trứng của người thứ nhất là x(0<x<100,x∈N∗,x≠50)
Bước 2:
Số trứng của người thứ hai là: 100−x.
Gọi a (đồng), b (đồng) lần lượt là giá bán mỗi quả trứng của người thứ nhất và của người thứ hai. Theo giả thiết:
{(100−x)a=90000xb=40000⇔{a=90000100−xb=40000x
Bước 3:
Vì số tiền bán trứng của 2 người bằng nhau nên:
xa=(100−x)b⇔90000x100−x=40000(100−x)x
⇔9x100−x=4(100−x)x
⇔9x2=4.(100−x)2
⇔9x2=4.10000−4.2.100x+4x2
⇒x2+160x−8000=0
⇔[x=40(tm)x=−200(ktm)
Bước 4:
Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả.
Một ôtô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc hơn dự định là 10 km/h và đi nửa sau kém hơn dự đinh 6 km/h. Biết ôtô đã đến đúng như dự định. Tính thời gian người đó dự định đi quãng đường AB.
Gọi vận tốc ô tô dự định đi là v (km/h), (v>6)
Thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30v+10(h)
Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30v−6(h)
Thời gian dự định đi quãng đường AB là 60v(h)
Theo bài ra ta có : 30v+10+30v−6=60v⇔2v+4(v+10)(v−6)=2v
⇒4v−120=0⇔v=30 (thỏa mãn)
Vậy thời gian dự định là 6030=2 giờ.
Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 2m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bước 1:
Gọi vận tốc của Vật I là x(m/s)(x>0).
Gọi vận tốc của Vật II là y(m/s)(x>0).
Bước 2:
Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là 20x,20y(m).
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20s lại gặp nhau một lần nghĩa là quãng đường vật đi nhanh đi được trong 20s là đúng 1 vòng tròn (2π(m)) nên ta có phương trình:
20x−20y=2π (1)
Sau 4s hai vật chuyển động được quãng đường là 4x,4y(m).
Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4s lại gặp nhau do đó ta có phương trình:
4x+4y=2π (2)
Bước 3:
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình là:
{20x−20y=2π4x+4y=2π⇔{x=0,3π(tm)y=0,2π(tm)
Bước 4:
Vậy vật I có vận tốc là 0,3π(m/s), vật II có vận tốc là 0,2π(m/s).
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông AB dài 54km và vận tốc dòng nước là 3km/h
Đổi 7giờ 30 phút =152(h)
Gọi vận tốc thực của ca nô là x(km/h),x>3
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là:x+3(km/h)
Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: x−3(km/h)
Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: 54x+3(h)
Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: 54x−3(h)
Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: 54x+3+54x−3=152
Ta có:
54x+3+54x−3=152⇔54(x−3+x+3x2−9)=152⇔2xx2−9=536
⇔72x=5x2−45⇔5x2−72x−45=0⇔[x=15(N)x=−35(L)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 15(km/h)