Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế? Biết số ghế trong 1 dãy không quá 20 ghế.
Bước 1:
Gọi số dãy ghế của phòng họp là \(x\) (dãy), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Bước 2:
Số ghế của mỗi dãy là \(\dfrac{{360}}{x}\) (ghế).
Số dãy sau khi tăng thêm 1 là \(x + 1\) (dãy).
Số ghế sau khi tăng thêm 1 ghế trên mỗi dãy là: \(\dfrac{{360}}{x} + 1\).
Tổng số ghế sau khi tăng 1 dãy và tăng 1 ghế trong mỗi dãy là \(\left( {x + 1} \right)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right)\).
Bước 3:
Khi đó ta có phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 360} \right) = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 361x + 360 = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 39x + 360 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 24\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Nếu số dãy là 15 dãy thì số ghế trong 1 dãy là 24 ghế. Loại vì mỗi dãy không quá 20 ghế.
Nếu số dãy là 24 thì số ghế trong 1 dãy là 15 ghế => Thỏa mãn.
Vậy số dãy là 24, số ghế trong 1 dãy là 15.
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường $42{\rm{km}}$, rồi sau đó ngược dòng trở lại $20{\rm{ km}}$ hết tổng cộng $5{\rm{h}}$. Biến vận tốc của dòng nước chảy là $2{\rm{ km/h}}$. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)$
Vì vận tốc nước là $2{\rm{ km/h}}$ nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là $x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ và $x{\rm{ - }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Thời gian để ca nô đi hết $42{\rm{ km}}$ xuôi dòng là $\dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}$
Thời gian để ca nô đi hết $20{\rm{ km}}$ ngược dòng là $\dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}$
Tổng thời gian là $5{\rm{h}}$ do đó
$\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5$
$ \Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.$
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12{\rm{ km/h}}$ .
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới đầy bể?
Bước 1:
Gọi \(x\) (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể \(\left( {x > 27} \right)\).
Bước 2:
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: \(x - 27\)(h).
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể)
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 27}}\) (bể).
Bước 3:
Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{1}{{18}}\) bể, do đó nên ta có pt:
\(\dfrac{1}{x}\,\,\, + \,\,\,\dfrac{1}{{x - 27}}\,\, = \,\,\dfrac{1}{{18}}\) \( \Leftrightarrow \) \({x^2} - 63x + 486 = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 54\left( {tm} \right)\\x = 9\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Bước 4:
Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 54h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.
Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mủ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đề khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mủ cao su?
Bước 1:
Gọi số tấn mủ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là \(x\) tấn, \(\left( {0 < x < 260} \right)\).
Bước 2:
=> Thời gian theo dự định khai thác mủ cao su của nông trường là \(\dfrac{{260}}{x}\) (ngày).
Theo thực tế mỗi ngày nông trường khai thác được số tấn mủ cao su là \(x + 3\) (tấn) .
=> Thời gian theo thực tế khai thác mủ cao su của nông trường là \(\dfrac{{261}}{{x + 3}}\) (ngày).
Bước 3:
Vì nông trường khai thác xong trước thời hạn 1 ngày nên ta có phương trình
\(\dfrac{{261}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{260}}{x}\)\( \Rightarrow 261x + x\left( {x + 3} \right) = 260\left( {x + 3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 780 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 26\left( {tm} \right)\\x = - 30\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác 26 tấn mủ cao su.
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai $4$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $24$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\).
Trong một giờ:
-Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).
- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x + 4}}\) ( bể).
- Vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{6}\) ( bể).
Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}} \)\(\Rightarrow 5{x^2} - 28x - 96 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\left( {TM} \right)\\x = - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$ giờ bể đầy nước.
Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Bước 1:
Gọi số đỉnh của đa giác là \(x\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Bước 2:
Số các đoạn thẳng được tạo thành bởi x đỉnh là \(C_x^2 = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\).
Số các cạnh của đa giác là \(x\) cạnh.
Số đường chèo của đa giác là \(\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} - x\) (cạnh).
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} - x = 35\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 2x = 70\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 70 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {tm} \right)\\x = - 7\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Vậy số đỉnh của đa giác là 10 đỉnh.
Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển $24$ tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên $2$ xe nữa nên mỗi xe chở ít đi $2$ tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt.
Gọi số xe ban đầu là $x,\,x \in {\mathbb{N}^*}$ (xe) nên số hàng theo kế hoạch mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{x}$ (tấn).
Số xe thực tế là $x + 2$ (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{{x + 2}}$ (tấn).
Theo bài ra ta có phương trình:
$\dfrac{{24}}{x} - \dfrac{{24}}{{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{x} - \dfrac{{12}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow 12(x + 2) - 12x = x(x + 2)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( {TM} \right)\\x = - 6\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy số xe ban đầu là $4$ xe.
Khoảng cách hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1km/h.
Bước 1:
Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng, \(\left( {x > 1} \right)\).
Bước 2:
Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: \(\dfrac{{60}}{{x + 1}}\left( h \right)\)
Thời gian xuồng ngược dòng từ B về C: \(\dfrac{{25}}{{x - 1}}\left( h \right)\).
Đổi 30 phút = \(\dfrac{1}{2}\left( h \right)\).
Bước 3:
Theo giả thiết ta có phương trình \(\dfrac{{60}}{{x + 1}} + \dfrac{{25}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{2} = 8\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 34x + 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{1}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h.
Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc đầu, ô tô đi với vận tốc đó, chỉ cần đi thêm 60km thì được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó đến tỉnh B sớm hơn 1h so với dự định. Quãng đường AB là?
Bước 1:
Gọi quãng đường AB là \(x\left( {km} \right)\left( {x > 0} \right)\).
Bước 2:
Thời gian đi dự định là \(\dfrac{x}{{40}}\)(giờ).
Quãng đường thực đi với vận tốc 40km/h là: \(\dfrac{x}{2} - 60\)(km).
Thời gian đi còn 60 km là nửa quãng đường là: \(\dfrac{{\dfrac{x}{2} - 60}}{{40}}\)(giờ).
Quãng đường còn lại đi với vận tốc 50km/h là: \(\dfrac{x}{2} + 60\)(km).
Thời gian đi với vận tốc 50km/h là: \(\dfrac{{\dfrac{x}{2} + 60}}{{50}}\) (giờ).
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{{\dfrac{x}{2} - 60}}{{40}} + \dfrac{{\dfrac{x}{2} + 60}}{{50}} + 1\\ \Leftrightarrow x = 280\left( {tm} \right)\end{array}\)
Bước 4:
Vậy quãng đường AB dài 280 km.
Một người đi xe đạp từ A đến B dài 36km. Sau khi đi được 2 giờ người đó nghỉ 15 phút. Sau đó người đi xe đạp tăng thêm 4km/h và đến B đúng giờ đã định. Tìm vận tốc ban đầu của người đó.
Bước 1:
Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là \(x\left( {km/h} \right)\left( {x > 0} \right)\).
Bước 2:
Đổi 15 phút = \(\dfrac{1}{4}\left( h \right)\).
Thời gian đi theo dự định là \(\dfrac{{36}}{x}\left( h \right)\).
Tổng thời gian đi 2h, nghỉ 15 phút, thời gian đi quãng đường còn là \(2 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{36 - 2x}}{{x + 4}}\)(h).
Bước 3:
Vì thời gian đi thực tế và thời gian dự định bằng nhau nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}2 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{36 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{36}}{x}\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{4} + \dfrac{{36 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{36}}{x}\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)
Bước 4:
Vậy vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là 12 km/h.
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m, nếu tăng thêm cho chiều dài \(\dfrac{1}{4}m\) thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm \(3{m^2}\). Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bước 1:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( m \right)\left( {x > 0} \right)\).
Bước 2:
Chiều dài ban đầu là \(x + 1\left( m \right)\)
Chiều dài sau khi tăng là \(x + 1 + \dfrac{1}{4}\left( m \right)\).
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}x\left( {x + 1 + \dfrac{1}{4}} \right) = x\left( {x + 1} \right) + 3\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)
Bước 4:
Chiều rộng là 12m, chiều dài là 13m
Diện tích là \(12.13 = 156\left( {{m^2}} \right)\).
Lan mua một máy tính xách tay tại một cửa hàng với giá niêm yết đã giảm 20% so với giá ban đầu. Tổng số tiền Lan phải trả là 10 triệu đồng, bao gồm 8% thuế giá trị gia tăng trên giá niêm yết. Giá ban đầu của máy tính trên là:
Gọi giá ban đầu của máy tính trên là \(x\) (đồng) \(\left( {x > 0} \right)\).
Giá niêm yết của máy tính tại cửa hàng là \(80\% x\) (đồng).
Tổng số tiền Lan phải trả, bao gồm 8% thuế giá trị gia tăng trên giá niêm yết là:
\(80\% x + 80\% x.8\% = \dfrac{{108}}{{125}}x\) (đồng).
Vì Lan phải trả 10 triệu đồng nên ta có phương trình \(\dfrac{{108}}{{125}}x = 10\,000\,000 \Leftrightarrow x \approx 11\,574\,074\) (đồng) (thỏa mãn).
Vậy giá ban đầu của máy tính trên là 11.574.074 đ.
