Phương trình mặt cầu

Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \)\(+ 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1,d =  - 3\).

Ta có công thức

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  \)\(= \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} \)\( = 3\) 

Phương trình có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) với \(a = 1,b =  - 2,c = 4\) và \(R = 2\sqrt 5 \)

có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).

Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 4,b = 1,c = 0,d = 1\)   

có tâm \(I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)\)

có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1}  = 4\)

Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 1,d =  - 8\)  có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b =  - \dfrac{1}{2},c =  - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)

Không phải là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\)

$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = -1,b =  m,c = -2\) và \(d = m + 5\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)

Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) thì ta có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)

$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 2\)  và \(d = m\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}}  = \sqrt {53} \)

Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

I là hình chiếu vuông góc của $M\left( {1, - 2,3} \right)$ trên trục $Ox$. Suy ra $I\left( {1,0,0} \right)$.

Ta có \(\overrightarrow {IM}  = (0, - 2,3) \Rightarrow R = IM = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \).

Suy ra phương trình mặt cầu: \({(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\).

Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z =  - 1 - t}&{}\end{array}} \right.\)

Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .

Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$  hay $t =  - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính \(MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}}  = \sqrt {65} \)

Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 1\\{y_I} = 0\\{z_I} = 1\end{array} \right.\) 

Ta có \(EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}}  = 2\sqrt 3 \) .

Mặt cầu $(S)$ đường kính $EF $ nhận trung điểm $I$ của $EF$ là tâm, có $I\left( {1,2,0} \right)$ và bán kính \(R = \dfrac{1}{2}EF = \sqrt 3 \).

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\) 

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\)  và \({R_A} = \sqrt {13} \)

+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\)  và \({R_B} = 4\)

+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\)  và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)

+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\)  và \({R_D} = \sqrt 5 \)

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\)  hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .

Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$  thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16\)

\( \Leftrightarrow 8t = 8\)

\( \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1}  = \sqrt {19} \)

Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt {19} \)

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc $Oy$, ta có $I\left( {0,t,0} \right)$. Vì mặt cầu $(S)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 2t + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = 2\)

Suy ra $I\left( {0,2,0} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt 6 \)

Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt 6 \)

- Thử từng tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D

+ Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án A có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0\)

Loại A

Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0\)

Thay $B\left( {1,2,1} \right)$   vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0\)

Thay $C\left( {1,1,2} \right)$  vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0\)

Thay $D\left( {2,2,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

\({2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0\)

Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.

S) có tâm $I\left( {2m, - 2, - m} \right)$ .

Bán kính \(R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m}  = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4}  = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3 \)

Dấu = xảy ra khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) 

Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m}  = \sqrt {9 + m} $

Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m}  = 5 \Leftrightarrow m = 16$

Tâm $I\left( {1;2; - 5} \right)$

Ta có \(\overrightarrow {AI}  = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM}  = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)\)